Livro do Hayt, 8a Edição (Assunto: Conversão de Coordenadas):
Expresse o vetor unitário x em componentes esféricos no ponto:
P=(r=2 ; theta=1 rad ; Phi=0,8 rad);
Enunciado:

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor unitário hat x (base cartesiana) em componentes na base esférica hat er,hat etheta,hat ephi no ponto dado por \r
r=2, theta=1:rad, phi=0,8:rad. \r
O conteúdo é conversão de coordenadas e mudança de base vetorial. Para resolver, vamos usar as fórmulas que ligam hat er, hat etheta, hat ephi às bases cartesianas e depois inverter o sistema para escrever hat x em termos dessas bases esféricas.

Passo 2

As expressões padrão da base esférica em função da base cartesiana são\r
hat er = sinthetacosphi,hat x + sinthetasinphi,hat y + costheta,hat z,
hat etheta = costhetacosphi,hat x + costhetasinphi,hat y - sintheta,hat z,
hat ephi = -sinphi,hat x + cosphi,hat y \r
Essas fórmulas vêm diretamente da definição de coordenadas esféricas: theta é o ângulo polar (a partir de z) e phi o azimutal (no plano xy).

Passo 3

Para achar hat x em função de hat er,hat etheta,hat ephi, escrevemos\r
hat x = A,hat er + B,hat etheta + C,hat ephi, \r
e igualamos coeficientes em x, y e z. O resultado padrão (que você pode verificar projetando nos eixos) é\r
hat x = sinthetacosphi,hat er ;+;costhetacosphi,hat etheta;-;sinphi,hat ephi

Passo 4

Agora substituímos theta=1 e phi=0,8. Primeiro calculamos as razões trigonométricas:\r
sin(1)approx0,84147, cos(1)approx0,54030, cos(0,8)approx0,69676, sin(0,8)approx0,71736 \r
Logo os coeficientes são\r
sin(1)cos(0,8)approx0,84147times0,69676approx0,58682,
cos(1)cos(0,8)approx0,54030times0,69676approx0,37667,
-sin(0,8)approx-0,71736

Resposta

hat x = 0,5868,hat er ;+;0,3767,hat etheta;-;0,7174,hat ephi

Exercícios relacionados