Calcule a sua área da região entre as curvas:
y=\operatorname{sen} x, \quad y=\cos 2 x, \quad x=\frac{-\pi}{2}, \quad x=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\sin x, y=\cos2x e pelas retas verticais x=-\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{\pi}{6}. O conteúdo é “área entre curvas” e vamos precisar identificar os pontos de interseção, determinar qual função é superior no intervalo e depois integrar a diferença.

Passo 2

Encontramos os pontos em que \sin x = \cos2x. Usamos a identidade \cos2x=1-2\sin^2x, obtendo
\sin x = 1 - 2\sin^2x \quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2x + \sin x - 1 = 0.
Resolvendo a equação quadrática em \sin x:
\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \;\Longrightarrow\; \sin x = \tfrac12 \quad\text{ou}\quad \sin x = -1.
No intervalo \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{6}\bigr] isso ocorre em x=-\tfrac{\pi}{2} (onde \sin x=-1) e em x=\tfrac{\pi}{6} (onde \sin x=\tfrac12). Esses são exatamente os limites de integração.

Passo 3

Para saber qual curva está acima de qual, escolhemos um ponto de teste interior, por exemplo x=0. Temos
\sin0=0 e \cos(2\cdot0)=1,
logo \cos2x\ge\sin x em todo o intervalo.

Passo 4

A área buscada é
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\bigl(\cos2x - \sin x\bigr)\,dx.
Calculamos os antiderivados:
\int \cos2x\,dx = \tfrac12\sin2x, \qquad \int -\sin x\,dx = \cos x.
Então
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\bigl(\cos2x - \sin x\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac12\sin2x + \cos x\Bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} = \Bigl(\tfrac12\sin\tfrac{\pi}{3} + \cos\tfrac{\pi}{6}\Bigr) - \Bigl(\tfrac12\sin(-\pi) + \cos(-\tfrac{\pi}{2})\Bigr).
Como \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}, \cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}, \sin(-\pi)=0, \cos(-\tfrac{\pi}{2})=0, vem
\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{4} + \frac{\sqrt3}{2} = \frac{3\sqrt3}{4}.

Resposta

\frac{3\sqrt3}{4}

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