Calcule a integral usando a integração por partes.
\int \operatorname{sec} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec} 2x \, dx
usando técnica de integração por partes (com um truque que aproveita a derivada de \operatorname{sec} u+\tan u).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 2x,\quad du = 2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Assim
\int \operatorname{sec} 2x \, dx = \frac12 \int \operatorname{sec} u \, du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec} u \, du, multiplicamos e dividimos por \operatorname{sec} u + \tan u:
\int \operatorname{sec} u \, du = \int \operatorname{sec} u \cdot \frac{\operatorname{sec} u + \tan u}{\operatorname{sec} u + \tan u}\,du = \int \frac{\operatorname{sec}^2 u + \operatorname{sec} u \tan u}{\operatorname{sec} u + \tan u}\,du.

Passo 4

Observamos que
\frac{d}{du}(\operatorname{sec} u + \tan u) = \operatorname{sec} u \tan u + \operatorname{sec}^2 u.
Logo, se definirmos
t = \operatorname{sec} u + \tan u, \quad dt = (\operatorname{sec} u \tan u + \operatorname{sec}^2 u)\,du,
a integral vira
\int \frac{dt}{t} = \ln\lvert t\rvert + C = \ln\lvert \operatorname{sec} u + \tan u\rvert + C.

Passo 5

Voltando a x e lembrando do fator 1/2, concluímos
\int \operatorname{sec} 2x \, dx = \frac12 \int \operatorname{sec} u \, du = \frac12 \ln\lvert \operatorname{sec} u + \tan u\rvert + C = \frac12 \ln\lvert \operatorname{sec} 2x + \tan 2x\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac12 \ln\lvert \operatorname{sec} 2x + \tan 2x\rvert + C

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