Estude a posição relativa entre os planos \pi_1 e \pi_2 e determine a intersecção, caso exista:
c) \pi_1: X = (1, 1, -1) + \lambda(2, 0, 2) + \mu(2, 3, 1) e \pi_2: x - y - z = 0
Passo 1
O enunciado nos dá dois planos: \pi_1 em forma paramétrica
X = (1,1,-1) + \lambda\,(2,0,2) + \mu\,(2,3,1)
e \pi_2 na forma cartesiana
x - y - z = 0.
Precisamos estudar se são paralelos ou concorrentes e, em caso de intersecção, encontrar a reta de interseção.
Passo 2
Para decidir a posição relativa, calculemos o vetor normal de \pi_1 como produto vetorial dos diretores \mathbf{v}_1=(2,0,2) e \mathbf{v}_2=(2,3,1):
Podemos simplificar dividindo por 2 e trocando o sinal, obtendo \mathbf{n}_1=(-3,1,3).
Passo 3
O vetor normal de \pi_2 é \mathbf{n}_2=(1,-1,-1).
Para que os planos fossem paralelos, deveríamos ter \mathbf{n}_1=k\,\mathbf{n}_2 para algum k. Mas não existe k que satisfaça simultaneamente
-3=k\cdot1,\quad 1=k\cdot(-1),\quad 3=k\cdot(-1),
logo \pi_1 e \pi_2 não são paralelos e se intersectam numa reta.
Passo 4
Para achar a reta de interseção, imponha a equação de \pi_2 à parametrização de \pi_1. Em \pi_1 temos