Estude a posição relativa entre os planos \pi_1 e \pi_2 e determine a intersecção, caso exista:
c) \pi_1: X = (1, 1, -1) + \lambda(2, 0, 2) + \mu(2, 3, 1) e \pi_2: x - y - z = 0

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos:
\pi_1 em forma paramétrica
X = (1,1,-1) + \lambda\,(2,0,2) + \mu\,(2,3,1)
e \pi_2 na forma cartesiana
x - y - z = 0.
Precisamos estudar se são paralelos ou concorrentes e, em caso de intersecção, encontrar a reta de interseção.

Passo 2

Para decidir a posição relativa, calculemos o vetor normal de \pi_1 como produto vetorial dos diretores \mathbf{v}_1=(2,0,2) e \mathbf{v}_2=(2,3,1):
\mathbf{n}_1 \;=\;(2,0,2)\times(2,3,1) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} =(-6,2,6).
Podemos simplificar dividindo por 2 e trocando o sinal, obtendo
\mathbf{n}_1=(-3,1,3).

Passo 3

O vetor normal de \pi_2 é
\mathbf{n}_2=(1,-1,-1).
Para que os planos fossem paralelos, deveríamos ter \mathbf{n}_1=k\,\mathbf{n}_2 para algum k. Mas não existe k que satisfaça simultaneamente
-3=k\cdot1,\quad 1=k\cdot(-1),\quad 3=k\cdot(-1),
logo \pi_1 e \pi_2 não são paralelos e se intersectam numa reta.

Passo 4

Para achar a reta de interseção, imponha a equação de \pi_2 à parametrização de \pi_1. Em \pi_1 temos
x=1+2\lambda+2\mu,\quad y=1+3\mu,\quad z=-1+2\lambda+\mu.
Substituindo em x-y-z=0:
(1+2\lambda+2\mu)\;-\;(1+3\mu)\;-\;(-1+2\lambda+\mu) =1 -2\mu = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mu=\tfrac12.

Passo 5

Substituindo \mu=\tfrac12 em \pi_1 obtemos um ponto da reta e o parâmetro \lambda segue livre. Para \mu=\tfrac12:
X =(1,1,-1)+\lambda\,(2,0,2)+\tfrac12\,(2,3,1) =(2,\tfrac52,-\tfrac12)+\lambda\,(2,0,2).
Podemos reparametrizar com t=\lambda e usar o vetor direção (1,0,1):
\text{reta de intersecção: } X = (2,\tfrac52,-\tfrac12) + t\,(1,0,1),\quad t\in\mathbb R.çã

Resposta

Os planos não são paralelos e se intersectam na reta
X = \bigl(2,\tfrac52,-\tfrac12\bigr) + t\,(1,0,1),\quad t\in\mathbb R.

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