Calcule a área da região
definida por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região
definida por três condições:
-
– Isso significa que estamos olhando apenas para a metade direita do plano, onde é positivo ou zero. -
– Aqui, estamos limitando nossa área até a linha . -
– Essa é uma equação de círculo, mas vamos resolver para entender melhor.
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre como lidar com equações de círculos, e integrar para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Podemos rearranjá-la para identificar o círculo:
Completando o quadrado para
:
Então, essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, sabemos que a região
está limitada por:
- A metade direita do círculo
(porque ), - A linha
, e - A parte do círculo abaixo de
.
Vamos visualizar isso: é a parte do círculo que está à direita do eixo
, abaixo da linha
.
Passo 4
Para calcular a área dessa região, podemos integrar em coordenadas polares ou cartesianas. Vamos usar coordenadas cartesianas para facilitar.
Primeiro, isolamos
na equação do círculo:
Como
, não precisamos considerar o valor negativo.
Passo 5
A área
será a integral de
em relação a
, desde
até
:
Mas para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Quando
,
; quando
,
. Então, a integral fica:
Passo 6
A integral
é uma fórmula padrão que resulta em:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Vamos calcular os limites:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região
é: