Calcule a área da região S definida por: S = {(x, y) | x >= 0, y <= 1, x^2 + y^2 <= 4y}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região definida por três condições:
  1. – Isso significa que estamos olhando apenas para a metade direita do plano, onde é positivo ou zero.
  2. – Aqui, estamos limitando nossa área até a linha .
  3. – Essa é uma equação de círculo, mas vamos resolver para entender melhor.
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria analítica, especialmente sobre como lidar com equações de círculos, e integrar para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Podemos rearranjá-la para identificar o círculo:
Completando o quadrado para :
Então, essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, sabemos que a região está limitada por:
  • A metade direita do círculo (porque ),
  • A linha , e
  • A parte do círculo abaixo de .
Vamos visualizar isso: é a parte do círculo que está à direita do eixo , abaixo da linha .

Passo 4

Para calcular a área dessa região, podemos integrar em coordenadas polares ou cartesianas. Vamos usar coordenadas cartesianas para facilitar.
Primeiro, isolamos na equação do círculo:
Como , não precisamos considerar o valor negativo.

Passo 5

A área será a integral de em relação a , desde até :
Mas para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Quando , ; quando , . Então, a integral fica:

Passo 6

A integral é uma fórmula padrão que resulta em:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Vamos calcular os limites:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região é:

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