Determine partial z / partial x e partial z / partial y se z=f(a x+b y).

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y da função z = f(a x + b y). Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função definindo uma nova variável u que é uma combinação de x e y:
u = a x + b y
Assim, a função fica:
z = f(u)

Passo 3

Agora, para encontrar partial zpartial x, usamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos z em relação a u:
d zd u = f'(u)
Em seguida, derivamos u em relação a x:
partial upartial x = a

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = d zd u cdot partial upartial x = f'(u) cdot a = a f'(a x + b y)

Passo 5

De forma similar, para encontrar partial zpartial y, derivamos z em relação a u:
d zd u = f'(u)
E derivamos u em relação a y:
partial upartial y = b

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = a f'(a x + b y)
e
partial zpartial y = b f'(a x + b y)

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