Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso envolve o estudo de derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma de suas variáveis, neste caso,
e
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de diferenciação para funções exponenciais e utilizar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar a diferenciação. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando logaritmos. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos:
Passo 3
Utilizando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, a equação fica:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
, mantendo
constante para encontrar a derivada parcial
.
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
:
Aplicando a regra do produto no lado direito:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começamos novamente com a expressão simplificada:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Substituindo
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e