Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
z = x^(x^y)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve o estudo de derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma de suas variáveis, neste caso, e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de diferenciação para funções exponenciais e utilizar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a diferenciação. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando logaritmos. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos:

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, a equação fica:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a , mantendo constante para encontrar a derivada parcial .

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do produto no lado direito:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Começamos novamente com a expressão simplificada:
Derivando ambos os lados em relação a :
Simplificando:
Substituindo :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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