Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
(e) y' = cos^2(x) / cos^2(2y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente quando conseguimos separar as variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar e de um lado separado. Lembrando que , podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por e por , temos:

Passo 3

Agora, nossa equação está separada, com de um lado e do outro. O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e :

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com o lado esquerdo:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Integrando termo a termo:
Agora, o lado direito:
Para integrar , usamos a mesma identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, igualamos os resultados das integrais:
Podemos simplificar essa expressão combinando as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada pela relação:
Onde é a constante de integração.

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