Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente quando conseguimos separar as variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
e
de um lado separado. Lembrando que
, podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Passo 3
Agora, nossa equação está separada, com
de um lado e
do outro. O próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com o lado esquerdo:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Integrando termo a termo:
Agora, o lado direito:
Para integrar
, usamos a mesma identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, igualamos os resultados das integrais:
Podemos simplificar essa expressão combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada pela relação:
Onde
é a constante de integração.