Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z, t) = (x - y) / (z - t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntas! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das suas variáveis: , , e . Para isso, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda quando apenas uma variável varia, mantendo as outras constantes. Vamos usar regras de derivação, como a regra do quociente, para achar cada uma delas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos , e como constantes. A função fica:
Como , e são constantes, a derivada de em relação a é simplesmente 1, e o denominador também é constante. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, , e são mantidos constantes. A função é:
A derivada de em relação a é , já que é constante e a derivada de é . O denominador permanece constante. Portanto:

Passo 4

Vamos seguir para a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes. Usamos a regra do quociente para derivar:
A derivada do numerador em relação a é 0, já que e são constantes. A derivada do denominador em relação a é 1. Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes. Novamente, usamos a regra do quociente:
A derivada do numerador em relação a é 0, pois e são constantes. A derivada do denominador em relação a é . Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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