Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntas! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das suas variáveis:
,
,
e
. Para isso, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda quando apenas uma variável varia, mantendo as outras constantes. Vamos usar regras de derivação, como a regra do quociente, para achar cada uma delas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes. A função fica:
Como
,
e
são constantes, a derivada de
em relação a
é simplesmente 1, e o denominador
também é constante. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente,
,
e
são mantidos constantes. A função é:
A derivada de
em relação a
é
, já que
é constante e a derivada de
é
. O denominador
permanece constante. Portanto:
Passo 4
Vamos seguir para a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
,
e
são constantes. Usamos a regra do quociente para derivar:
A derivada do numerador em relação a
é 0, já que
e
são constantes. A derivada do denominador
em relação a
é 1. Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
,
e
são constantes. Novamente, usamos a regra do quociente:
A derivada do numerador em relação a
é 0, pois
e
são constantes. A derivada do denominador
em relação a
é
. Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: