Calcule a área da região delimitada por
y=x^3, y=x e y=2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^3, y=x e y=2x. Para resolver usamos integração em coordenadas cartesianas, encontrando primeiro os pontos de interseção e depois escrevendo a região como soma de integrais do tipo superior - inferior.

Passo 2

Calculamos as interseções relevantes em x>=0:
– Entre y=x^3 e y=x:
x^3 = x ;Longrightarrow; x(x^2-1)=0 ;Longrightarrow; x=0,,pm1
Mantemos x=0 e x=1, dando pontos (0,0) e (1,1).
– Entre y=x^3 e y=2x:
x^3 = 2x ;Longrightarrow; x(x^2-2)=0 ;Longrightarrow; x=0,,pmraiz2
Mantemos x=0 e x=raiz2, dando pontos (0,0) e l(raiz2,2raiz2r).

Passo 3

Para decidir qual curva é topo e qual é base, analisamos os intervalos:
  • Se 0<= x<=1, então
x^3 <= x <= 2x,
logo a região fica entre a reta inferior y=x e a reta superior y=2x.
  • Se 1<= x<=raiz2, verifica-se
x <= x^3 <= 2x,
então a região fica entre a curva inferior y=x^3 e a reta superior y=2x.

Passo 4

Escrevemos a área A como soma de duas integrais:
A =integral0^1l(2x - xr),dx +integral1^raiz2l(2x - x^3r),dx

Passo 5

Calculamos cada parcela:
integral0^1(2x - x),dx =integral0^1x,dx =x^22|0^1 =12,
integral1^raiz2(2x - x^3),dx =l[x^2 - tfracx^44r]1^raiz2 =l(2 - 1r)-l(1 - tfrac14r) =14

Passo 6

Somando as duas parcelas obtemos
A = 12 + 14 = 34

Resposta

34

Exercícios relacionados