Considere a superfície fechada S composta pela semiesfera superior de raio 3 unida com a tampa circular da sua interseção com o plano plano z=0. Seja F(x, y, z)=(-y+2 x, x, 4 z) e suponhamos que S estiver orientada com o vetor normal exterior. Depois de calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S podemos concluir que dita integral é:
a. Negativa.
b. Nenhuma das outras alternativas.
c. Maior que 100 pi.
d. Nula
e. Impossivel de ser calculada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma superfície fechada S que é formada por uma semiesfera superior de raio 3 e pela sua base circular no plano z = 0 . A função vetorial dada é F(x, y, z) = (-y + 2x, x, 4z) . Queremos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS e decidir se ela é negativa, nula, maior que 100pi ou outra coisa. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de fluxo do campo F através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V dentro de S .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F . A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = (Fx, Fy, Fz) = (-y + 2x, x, 4z) .
Calculando cada derivada:
partial Fxpartial x = partial (-y + 2x)partial x = 2
partial Fypartial y = partial xpartial y = 0
partial Fzpartial z = partial 4zpartial z = 4
Então,
nabla cdot F = 2 + 0 + 4 = 6

Passo 4

Agora que temos a divergência, podemos usar o teorema da divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV 6 , dV = 6 integral triplaV dV
Isso significa que precisamos calcular o volume V da semiesfera com raio 3.

Passo 5

O volume de uma esfera completa de raio r é:
Vesfera = 43 pi r^3
Como temos apenas a semiesfera, o volume será metade disso:
V = 12 times 43 pi (3)^3 = 23 pi times 27 = 18pi

Passo 6

Agora, multiplicamos o volume pela constante que veio da divergência:
6 times 18pi = 108pi

Passo 7

Então, a integral de superfície integral duplaS F cdot dS vale 108pi . Agora, vamos verificar as alternativas:
a. Negativa. Não, nosso resultado é positivo.
b. Nenhuma das outras alternativas. Vamos ver as outras opções.
c. Maior que 100pi . Sim, 108pi é maior que 100pi .
d. Nula. Não, nosso resultado não é zero.
e. Impossível de ser calculada. Não, conseguimos calcular.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS é maior que 100pi . Portanto, a alternativa correta é a c. Maior que 100pi .

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