Considere a superfície fechada
composta pela semiesfera superior de raio 3 unida com a tampa circular da sua interseção com o plano plano
. Seja
e suponhamos que
estiver orientada com o vetor normal exterior. Depois de calcular a integral de superfície
podemos concluir que dita integral é:
a. Negativa.
b. Nenhuma das outras alternativas.
c. Maior que
.
d. Nula
e. Impossivel de ser calculada.
a. Negativa.
b. Nenhuma das outras alternativas.
c. Maior que
d. Nula
e. Impossivel de ser calculada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma superfície fechada
que é formada por uma semiesfera superior de raio 3 e pela sua base circular no plano
. A função vetorial dada é
. Queremos calcular a integral de superfície
e decidir se ela é negativa, nula, maior que
ou outra coisa. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de fluxo do campo
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
.
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora que temos a divergência, podemos usar o teorema da divergência para transformar a integral de superfície em uma integral de volume:
Isso significa que precisamos calcular o volume
da semiesfera com raio 3.
Passo 5
O volume de uma esfera completa de raio
é:
Como temos apenas a semiesfera, o volume será metade disso:
Passo 6
Agora, multiplicamos o volume pela constante que veio da divergência:
Passo 7
Então, a integral de superfície
vale
. Agora, vamos verificar as alternativas:
a. Negativa. Não, nosso resultado é positivo.
b. Nenhuma das outras alternativas. Vamos ver as outras opções.
c. Maior que
. Sim,
é maior que
.
d. Nula. Não, nosso resultado não é zero.
e. Impossível de ser calculada. Não, conseguimos calcular.
Resposta
A integral de superfície
é maior que
. Portanto, a alternativa correta é a c. Maior que
.