Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (4, y) (0.0) x^2 y^3+x^3 y^2-52-x y

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da função de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2y^3 + x^3y^2 - 52 - x y
Este é um problema de limites em R^2. Como o denominador tende a um valor não nulo, podemos usar a propriedade de que o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos primeiro analisar o numerador. Como (x,y)to(0,0), temos
x^2y^3 ;longrightarrow; 0, x^3y^2 ;longrightarrow; 0,
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x^2y^3 + x^3y^2 - 5 ;longrightarrow; 0 + 0 - 5 = -5

Passo 3

Agora o denominador. Como (x,y)to(0,0), o produto x yto0, então
2 - x y ;longrightarrow; 2 - 0 = 2
Repare que o limite do denominador é 2neq0, permitindo aplicar a regra do quociente.

Passo 4

Pelo teorema dos limites (quociente de limites), concluímos que
lim(x,y)to(0,0) x^2y^3 + x^3y^2 - 52 - x y = -52

Resposta

-52

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