Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções dadas a seguir: (b) y=integralraizx^x^3 raizt sen t d t

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a função
y = integralraizx^x^3 raizt,sin t,dt
e queremos sua derivada usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo: se
y = integrala(x)^b(x) f(t),dt
então
$$
y’ = f\bigl(b(x)\bigr),b’(x) - f\bigl(a(x)\bigr),a’(x)$$.

Passo 3

Identificação das funções envolvidas: definimos
a(x) = raizx = x^1/2, b(x) = x^3, f(t) = raizt,sin t
Calculamos as derivadas:
a'(x) = 12raizx = 12x^1/2, b'(x) = 3x^2

Passo 4

Aplicação da fórmula: substituindo na expressão do teorema,
y' = fl(b(x)r),b'(x) - fl(a(x)r),a'(x)
y' = raizx^3,sin(x^3)cdot 3x^2 - raizraizx,sin(raizx)cdot 12raizx

Passo 5

Simplificação das potências: note que
raizx^3 = x^3/2, raizraizx = x^1/4,
então
y' = 3x^7/2,sin(x^3) - 12x^-1/4,sin(raizx)

Resposta

y' = 3x^7/2,sin(x^3) - tfrac12x^-1/4,sin(raizx)

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