Calcule a área da região delimitada por
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a região pede: são quatro curvas que se encontram em quatro pontos, e a região é fechada por um arco de cada curva. O conteúdo é “interseções de funções e cálculo de área por integrais”. Vamos precisar:
– Encontrar todas as interseções duas a duas;
– Identificar quais quatro pontos formam o contorno fechado, usando cada curva exatamente uma vez;
– Montar uma integral (ou somatório de integrais) que dê a área entre as funções nessas fatias de x.
– Encontrar todas as interseções duas a duas;
– Identificar quais quatro pontos formam o contorno fechado, usando cada curva exatamente uma vez;
– Montar uma integral (ou somatório de integrais) que dê a área entre as funções nessas fatias de x.
Passo 2
- Interseções das curvas duas a duas:
– Parabola y = x² − 1 com y = 1 − x →
x² − 1 = 1 − x ⇒ x² + x − 2 = 0 ⇒ x = 1 ou x = −2.
Pontos: (1, 0) e (−2, 3).
– y = x² − 1 com y = (4/3)x + 12 →
x² − 1 = (4/3)x + 12 ⇒ 3x² − 4x − 39 = 0 ⇒ x = 13/3 ou x = −3.
Pontos: (13/3, 160/9) e (−3, 8).
– y = x² − 1 com y = 12 − (9/2)x →
x² − 1 = 12 − (9/2)x ⇒ 2x² + 9x − 26 = 0 ⇒ x = 2 ou x = −6.5.
Pontos: (2, 3) e (−6.5, 41.25).
– y = 1 − x com y = (4/3)x + 12 →
1 − x = (4/3)x + 12 ⇒ x = −33/7, y = 40/7.
– y = 1 − x com y = 12 − (9/2)x →
1 − x = 12 − 4.5x ⇒ x = 22/7, y = −15/7.
– y = (4/3)x + 12 com y = 12 − (9/2)x →
(4/3)x + 12 = 12 − (9/2)x ⇒ x = 0, y = 12.
Passo 3
- Escolha dos 4 vértices que formam o contorno fechado:
Vamos adotar a ordem cíclica (no sentido anti-horário) e escolher os pontos onde cada curva encontra duas vizinhas:
P₁ = interseção parabola ⇆ line1 = (1, 0)
P₂ = interseção line1 ⇆ line2 = (−33/7, 40/7)
P₃ = interseção line2 ⇆ line4 = (0, 12)
P₄ = interseção line4 ⇆ parabola = (2, 3)
Assim temos o ciclo: P₁→P₂ (reta y=1−x), P₂→P₃ (reta y=(4/3)x+12), P₃→P₄ (reta y=12−(9/2)x) e P₄→P₁ (parábola y=x²−1).
Passo 4
- Método de cálculo da área:
Para usar integrais em x, há três fatias distintas:
(a) de x = −33/7 até x = 0, a região está entre cima: y₂(x) = (4/3)x+12 e embaixo: y₁(x) = 1−x;
(b) de x = 0 até x = 2, a região está entre cima: y₄(x) = 12 − (9/2)x e embaixo: yₚ(x) = x²−1.
(Observe que os trechos P₁→P₂→P₃ usam as duas primeiras linhas, e P₃→P₄→P₁ usam a reta 4 e depois a parábola.)
Passo 5
- Montagem das integrais:
I₁ = ∫[−33/7 → 0] [ (4/3)x + 12 − (1 − x ) ] dx
= ∫[−33/7 → 0] [ (7/3)x + 11 ] dx
I₂ = ∫[0 → 2] [ 12 − (9/2)x − (x²−1) ] dx
= ∫[0 → 2] [ 13 − (9/2)x − x² ] dx
Passo 6
-
Cálculo de I₁:
∫(7/3)x dx = (7/6)x², ∫11 dx = 11x
I₁ = [ (7/6)x² + 11x ]em x=0 → 0 em x=−33/7 → (7/6)(1089/49) + 11(−33/7) = 7623/294 − 363/7 = 7623/294 − 15222/294 = −7600/294
Logo I₁ = 0 − (−7600/294) = 7600/294 = 3800/147.
Passo 7
- Cálculo de I₂:
∫13 dx = 13x, ∫(9/2)x dx = (9/4)x², ∫x² dx = (1/3)x³
I₂ = [ 13x − (9/4)x² − (1/3)x³ ]₀²
= (26 − 9 + (−8/3)) − 0
= 17 − 8/3
= (51 − 8)/3 = 43/3.
Passo 8
- Soma das áreas:
Área = I₁ + I₂ = 3800/147 + 43/3
= 3800/147 + 2101/147
= 5901/147
= 1967/49.
Passo 9
- Resultado simplificado:
Passo 10
final_answer