Calcule a área da região delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo
considerado.
Passo 1
O exercício pede para calcular a área limitada pela curva y = cos x e o eixo x no intervalo [0,4π]. O conteúdo é cálculo de área via integrais definidas, e vamos precisar usar a noção de valor absoluto e a periodicidade de cos x.
Passo 2
A área limitada pela curva e o eixo x é dada por
. Aqui usamos valor absoluto porque, quando cos x fica negativa, ainda contamos a área positiva.
Sabemos que cos x é periódico de período 2π. Logo, em cada intervalo de comprimento 2π a área sob |cos x| é a mesma. Assim podemos escrever .
Sabemos que cos x é periódico de período 2π. Logo, em cada intervalo de comprimento 2π a área sob |cos x| é a mesma. Assim podemos escrever
Passo 3
Para calcular
, percebemos que em [0,π] e [π,2π] a forma de |cos x| se repete. Então
Passo 4
Agora em [0,π] dividimos onde cos x muda de sinal (em π/2):
Passo 5
Calculando cada parte:
Passo 6
Portanto
, e assim
Passo 7
Finalmente, como temos dois períodos em [0,4π],
Resposta
8