Calcule a área da região delimitada pela curva y=f(x) e o eixo x no intervalo [a, b] considerado.
f(x)=cos x, em[0,4 pi]

Passo 1

O exercício pede para calcular a área limitada pela curva y = cos x e o eixo x no intervalo [0,4π]. O conteúdo é cálculo de área via integrais definidas, e vamos precisar usar a noção de valor absoluto e a periodicidade de cos x.

Passo 2

A área limitada pela curva e o eixo x é dada por A = integral0^4pi |cos x|,dx. Aqui usamos valor absoluto porque, quando cos x fica negativa, ainda contamos a área positiva.
Sabemos que cos x é periódico de período 2π. Logo, em cada intervalo de comprimento 2π a área sob |cos x| é a mesma. Assim podemos escrever A = 2 integral0^2pi |cos x|,dx.

Passo 3

Para calcular integral0^2pi |cos x|,dx, percebemos que em [0,π] e [π,2π] a forma de |cos x| se repete. Então
integral0^2pi |cos x|,dx = 2integral0^pi |cos x|,dx

Passo 4

Agora em [0,π] dividimos onde cos x muda de sinal (em π/2):
integral0^pi |cos x|,dx = integral0^pi/2 cos x,dx + integralpi/2^pi (-cos x),dx

Passo 5

Calculando cada parte:
integral0^pi/2 cos x,dx = [sin x]0^pi/2 = 1,
integralpi/2^pi (-cos x),dx = [-sin x]pi/2^pi = -0 + 1 = 1

Passo 6

Portanto integral0^pi |cos x|,dx = 1 + 1 = 2, e assim
integral0^2pi |cos x|,dx = 2 times 2 = 4

Passo 7

Finalmente, como temos dois períodos em [0,4π],
A = 2 times 4 = 8

Resposta

8

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