Calcule integral duplasigma f(x, y, z) d S, sendo
f(x, y, z)=x^2+y^2 e sigma(u, v)=(u, v, u^2+v^2) com u^2+v^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x, y, z) = x^2 + y^2 sobre a superfície sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v^2) dentro da região onde u^2 + v^2 <= 1 . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de superfície usando parametrização e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da diferencial de área dS na parametrização dada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de sigma(u, v) em relação a u e v :
sigmau = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u ) = (1, 0, 2u)
sigmav = ( partial xpartial v, partial ypartial v, partial zpartial v ) = (0, 1, 2v)

Passo 3

Agora, calculamos o produto vetorial sigmau times sigmav para encontrar a normal à superfície:
sigmau times sigmav = i & j & k 1 & 0 & 2u 0 & 1 & 2v = (-2u, -2v, 1)
A norma desse vetor nos dá a diferencial de área dS :
| sigmau times sigmav | = raiz(-2u)^2 + (-2v)^2 + 1^2 = raiz4u^2 + 4v^2 + 1

Passo 4

Expressamos a função f(x, y, z) em termos dos parâmetros u e v :
f(u, v) = u^2 + v^2
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplasigma f(x, y, z) , dS = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u^2 + v^2) raiz4u^2 + 4v^2 + 1 , du , dv

Passo 5

Para simplificar, vamos mudar para coordenadas polares onde u = rcostheta e v = rsintheta . Assim, u^2 + v^2 = r^2 e o elemento de área du , dv = r , dr , dtheta . A integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r . Fazendo a substituição t = 4r^2 + 1 , temos dt = 8r , dr ou dr = dt8r . Substituindo na integral:
integral r^3 raiz4r^2 + 1 , dr = 18 integral (t - 1) raizt , dt8 = 164 integral (t^3/2 - t^1/2) , dt
Integrando:
164 ( 25 t^5/2 - 23 t^3/2 ) + C
Voltando para r :
164 ( 25 (4r^2 + 1)^5/2 - 23 (4r^2 + 1)^3/2 ) g|0^1
Calculando os limites de integração e simplificando, e depois integrando em relação a theta :
Integral comp<=ta = pi ( 25raiz5 - 160 )

Resposta

A integral de superfície é igual a dfracpi (25raiz5 - 1)60 , ou aproximadamente 2,876.

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