Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a superfície dentro da região onde . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de superfície usando parametrização e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da diferencial de área na parametrização dada. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 3
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar a normal à superfície:
A norma desse vetor nos dá a diferencial de área dS :
Expressamos a função f(x, y, z) em termos dos parâmetros u e v :
f(u, v) = u^2 + v^2
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplasigma f(x, y, z) , dS = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u^2 + v^2) raiz4u^2 + 4v^2 + 1 , du , dv
Passo 5
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas polares onde u = rcostheta e v = rsintheta . Assim, u^2 + v^2 = r^2 e o elemento de área du , dv = r , dr , dtheta . A integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a r . Fazendo a substituição t = 4r^2 + 1 , temos dt = 8r , dr ou dr = dt8r . Substituindo na integral:
integral r^3 raiz4r^2 + 1 , dr = 18 integral (t - 1) raizt , dt8 = 164 integral (t^3/2 - t^1/2) , dt