Determine os valores máximo e mínimo para x y+raiz9-x^2-y^2, para x^2+y^2 <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x, y) = xy + raiz9 - x^2 - y^2 dentro da região onde x^2 + y^2 <= 9 . Isso envolve conceitos de otimização de funções de múltiplas variáveis, onde vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e analisar os limites da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região x^2 + y^2 < 9 . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e igualá-las a zero.
A derivada parcial de f em relação a x é:
partial fpartial x = y - xraiz9 - x^2 - y^2
E a derivada parcial em relação a y é:
partial fpartial y = x - yraiz9 - x^2 - y^2
Igualando ambas a zero:
y - xraiz9 - x^2 - y^2 = 0 e x - yraiz9 - x^2 - y^2 = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
y = xraiz9 - x^2 - y^2
Da segunda equação:
x = yraiz9 - x^2 - y^2
Podemos igualar as duas expressões:
xraiz9 - x^2 - y^2 = yraiz9 - x^2 - y^2 implies x = y

Passo 4

Sabendo que x = y , substituímos na condição x^2 + y^2 = 2x^2 . Vamos voltar à primeira derivada parcial:
y = xraiz9 - 2x^2 implies x = xraiz9 - 2x^2
Para x neq 0 , podemos dividir ambos os lados por x :
1 = 1raiz9 - 2x^2 implies raiz9 - 2x^2 = 1
Elevando ao quadrado:
9 - 2x^2 = 1 implies 2x^2 = 8 implies x^2 = 4 implies x = pm 2
Portanto, os pontos críticos são (2, 2) e (-2, -2) .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função f(x, y) nesses pontos críticos:
f(2, 2) = (2)(2) + raiz9 - 4 - 4 = 4 + raiz1 = 4 + 1 = 5
f(-2, -2) = (-2)(-2) + raiz9 - 4 - 4 = 4 + raiz1 = 4 + 1 = 5

Passo 6

Também precisamos verificar a função na fronteira da região, onde x^2 + y^2 = 9 . Nessa fronteira, a função fica:
f(x, y) = xy + raiz0 = xy
Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de xy sob a condição x^2 + y^2 = 9 .
Podemos usar coordenadas polares: x = 3costheta , y = 3sintheta . Então:
xy = 9costhetasintheta = 92sin(2theta)
O valor máximo de sin(2theta) é 1 e o mínimo é -1, então:
xy <= 92 e xy >= -92

Resposta

O valor máximo de xy + raiz9 - x^2 - y^2 é 5 e o valor mínimo é -92 .

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