Determine os valores máximo e mínimo para
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
dentro da região onde
. Isso envolve conceitos de otimização de funções de múltiplas variáveis, onde vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e analisar os limites da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando ambas a zero:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
Sabendo que
, substituímos na condição
. Vamos voltar à primeira derivada parcial:
Para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos críticos:
Passo 6
Também precisamos verificar a função na fronteira da região, onde
. Nessa fronteira, a função fica:
Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de
sob a condição
.
Podemos usar coordenadas polares:
,
. Então:
O valor máximo de
é 1 e o mínimo é -1, então:
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.