Esboce a região delimitada pelas curvas y=1x, y=0, x=1 e x=2 e encontre sua área.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y=tfrac1x, y=0, x=1 e x=2, e em seguida calcular a área dessa região. O conteúdo utilizado será o de integrais definidas para área sob curvas no plano cartesiano.

Passo 2

Para visualizar a região, note que para cada x entre 1 e 2 a parte superior da região é dada por y=tfrac1x e a parte inferior é o eixo y=0. Logo, a área pode ser obtida pela integral
A = integralx=1^x=2 l(tfrac1x - 0r),dx = integral1^2 1x,dx

Passo 3

Calculemos a integral:
integral1^2 1x,dx = l[ln|x|r]1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2)

Passo 4

O esboço é o seguinte: no plano xy, trace a hipérbole decrescente y=1/x, as retas verticais x=1 e x=2 e o eixo y=0. A região procurada é a “faixa” sob a hipérbole, entre essas duas retas verticais.

Resposta

A área da região é ln(2).

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