Calcule a área da região delimitada pelas curvas y=raizx, y=0, x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas y=raizx, y=0, x=1 e x=4. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração definida de uma função não-negativa, e vamos precisar montar a integral de raizx no intervalo de 1 a 4.

Passo 2

Interpretamos graficamente a região: é o conjunto de pontos sob o gráfico de y=raizx entre x=1 e x=4, limitado inferiormente por y=0. Assim, a área A vale
A = integral1^4l(raizx-0r),dx = integral1^4raizx,dx

Passo 3

Para calcular a integral, encontramos a antiderivada de raizx=x^1/2:
integral x^1/2,dx = 23x^3/2 + C

Passo 4

Agora avaliamos de 1 a 4:
A = [23x^3/2]1^4 = 23l(4^3/2r) - 23l(1^3/2r) = 23cdot 8 - 23cdot 1 = 163 - 23 = 143

Resposta

143

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