Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y=raiz1-x^2 e o eixo x, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por y=raiz1-x^2 e o próprio eixo x, para 0<= x<=1. O conteúdo envolvido é volume de revolução, e vamos aplicar o método dos discos, cuja fórmula básica é
V = pi integrala^b l[raio(x)r]^2,dx

Passo 2

Ao girar a curva em torno do eixo x, cada seção perpendicular ao eixo gera um disco de raio igual à ordenada y. Aqui:
raio(x) = y = raiz1 - x^2

Passo 3

Substituindo na fórmula do método dos discos, o volume fica
V = pi integral0^1 l(raiz1 - x^2r)^2,dx = pi integral0^1 l(1 - x^2r),dx

Passo 4

Calculamos a integral
integral l(1 - x^2r),dx = integral 1,dx - integral x^2,dx = x - x^33 + C

Passo 5

Avaliando de 0 a 1:
[x - x^33]0^1 = l(1 - tfrac13r) - (0 - 0) = 23

Passo 6

Multiplicando por pi, obtemos o volume final:
V = pi cdot 23 = 2pi3

Resposta

2pi3

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