Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y=x^2 e y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y=x^2 (parábola) e y=1 (reta horizontal). O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), em que usamos a fórmula
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno.

Passo 2

Precisamos achar os limites de integração a e b, que vêm da interseção entre as curvas
x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1
Logo, vamos integrar de x=-1 até x=1.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, a reta y=1 gera o raio externo
R(x) = 1
e a parábola y=x^2 gera o raio interno
r(x) = x^2
O integrando fica
R(x)^2 - r(x)^2 = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4
Portanto
V = pi integral-1^1 l(1 - x^4r),dx

Passo 4

Calculemos a integral:
integral-1^1 1,dx = 2, integral-1^1 x^4,dx = 2integral0^1 x^4,dx = 2cdot 15 = 25
Assim,
V = pil(2 - tfrac25r) = picdot 85 = 8pi5

Resposta

8pi5

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