3^a Questão (8 pts)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
F=(x^2, y^2, z),
ao longo da curva C, definida pela parametrização:
backslash(mid vecr(t)=(|cos t,| sen t, t), backslash)
com 0 <= t <= 2 pi.
(Obs.: W=integralC F cdot d r ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de trabalho realizado por um campo de forças. O enunciado nos dá um campo de forças F = (x^2, y^2, z) e uma curva C definida pela parametrização r(t) = (cos t, sin t, t) com 0 <= t <= 2pi. Para encontrar o trabalho W, vamos usar a fórmula W = integralC F cdot dr. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa essa integral de linha W = integralC F cdot dr. Basicamente, estamos calculando o quanto do campo de forças F atua ao longo da curva C. Para isso, vamos parametrizar a curva e substituir na expressão da força.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva C usando r(t) = (cos t, sin t, t). Isso significa que:
x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t
para t no intervalo de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é dr/dt:
drdt = ( -sin t, cos t, 1 )
Esse vetor representa a direção da curva em cada ponto.

Passo 5

Em seguida, substituímos as parametrizações de x(t), y(t) e z(t) no campo de forças F:
F(r(t)) = ( (cos t)^2, (sin t)^2, t )
Simplificando:
F(r(t)) = ( cos^2 t, sin^2 t, t )

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot drdt:
F cdot drdt = (cos^2 t)(- sin t) + (sin^2 t)(cos t) + t cdot 1
Simplificando termo a termo:
= -cos^2 t sin t + sin^2 t cos t + t

Passo 7

Agora, vamos integrar esse resultado de t = 0 a t = 2pi:
W = integral0^2pi ( -cos^2 t sin t + sin^2 t cos t + t ) dt
Dividindo a integral em partes:
W = integral0^2pi -cos^2 t sin t , dt + integral0^2pi sin^2 t cos t , dt + integral0^2pi t , dt

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral -cos^2 t sin t , dt:
    Fazemos a substituição u = cos t, então du = -sin t , dt:
integral -cos^2 t sin t , dt = integral u^2 , du = u^33 + C = cos^3 t3 + C
Avaliado de 0 a 2pi:
[cos^3 t3]0^2pi = cos^3(2pi)3 - cos^3(0)3 = 13 - 13 = 0
  1. integral sin^2 t cos t , dt:
    Fazemos a substituição v = sin t, então dv = cos t , dt:
integral sin^2 t cos t , dt = integral v^2 , dv = v^33 + C = sin^3 t3 + C
Avaliado de 0 a 2pi:
[sin^3 t3]0^2pi = sin^3(2pi)3 - sin^3(0)3 = 0 - 0 = 0
  1. integral t , dt:
integral t , dt = t^22 + C
Avaliado de 0 a 2pi:
[t^22]0^2pi = (2pi)^22 - 0 = 4pi^22 = 2pi^2

Passo 9

Somando os resultados das três integrais:
W = 0 + 0 + 2pi^2 = 2pi^2

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva C é 2pi^2.

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