Questão (8 pts)
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva
, definida pela parametrização:
com
.
(Obs.:
).
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
com
(Obs.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de trabalho realizado por um campo de forças. O enunciado nos dá um campo de forças
e uma curva
definida pela parametrização
com
. Para encontrar o trabalho
, vamos usar a fórmula
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa essa integral de linha
. Basicamente, estamos calculando o quanto do campo de forças
atua ao longo da curva
. Para isso, vamos parametrizar a curva e substituir na expressão da força.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando
. Isso significa que:
para
no intervalo de
a
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Esse vetor representa a direção da curva em cada ponto.
Passo 5
Em seguida, substituímos as parametrizações de
,
e
no campo de forças
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando termo a termo:
Passo 7
Agora, vamos integrar esse resultado de
a
:
Dividindo a integral em partes:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
:
Fazemos a substituição, então :
Avaliado de
a
:
-
:
Fazemos a substituição, então :
Avaliado de
a
:
-
:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Somando os resultados das três integrais:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva
é
.