Calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo no primeiro quadrante:
y=x^{2}, y=x^{2}-2 x+4 e x=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y = x^2, y = x^2 - 2x + 4 e pela reta x = 0. O conteúdo necessário é o cálculo de área entre duas curvas usando integração.

Passo 2

Para determinar o intervalo de integração, encontramos a interseção das parábolas resolvendo
x^2 = x^2 - 2x + 4.
Cancelando x^2 em ambos os lados vem
0 = -2x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
No primeiro quadrante, x vai de 0 até 2.

Passo 3

Identificamos qual curva fica por cima. Para 0 \le x \le 2,
x^2 - 2x + 4 - x^2 = -2x + 4 \ge 0,
logo y = x^2 - 2x + 4 é a fronteira superior e y = x^2 a inferior.

Passo 4

O método de fatias verticais diz que a área vale
\text{Área} = \int_{x=0}^{x=2} \bigl[\,(x^2 - 2x + 4) - x^2\bigr]\,dx = \int_{0}^{2} (-2x + 4)\,dx.Á

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{2} (-2x + 4)\,dx = \Bigl[-x^2 + 4x\Bigr]_{0}^{2} = \bigl[-(2)^2 + 4\cdot 2\bigr] - \bigl[0\bigr] = (-4 + 8) = 4.

Resposta

A área da região é 4.

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