Calcule as integrais abaixo:
\int(\ln (x))^{3} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (\ln x)^{3}\,dx.
Aqui vamos usar várias vezes o método de integração por partes, pois temos uma potência de \ln x.

Passo 2

Aplicamos a primeira integração por partes escolhendo
u=(\ln x)^{3},\quad dv=dx.
Então
du=3(\ln x)^{2}\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v=x,
e ficamos com
\int (\ln x)^{3}\,dx =x(\ln x)^{3}-3\int (\ln x)^{2}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
I_2=\int (\ln x)^{2}\,dx.
De novo, por partes, tomando
u=(\ln x)^{2},\quad dv=dx
vem
du=2\ln x\,\frac{1}{x}\,dx, \quad v=x,
logo
I_2 =x(\ln x)^{2}-2\int \ln x\,dx.

Passo 4

Falta então
I_1=\int \ln x\,dx.
Por partes, com
u=\ln x,\quad dv=dx
obtém-se
du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=x,
e assim
I_1 =x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx =x\ln x-\int 1\,dx =x\ln x - x.
Substituindo em I_2:
I_2 =x(\ln x)^{2}-2\bigl(x\ln x - x\bigr) =x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x.

Passo 5

Voltando à integral original, substituímos I_2 no resultado do passo 2:
\int (\ln x)^{3}\,dx =x(\ln x)^{3} -3\bigl[x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x\bigr] +C
\phantom{\int (\ln x)^{3}\,dx} =x(\ln x)^{3}-3x(\ln x)^{2}+6x\ln x-6x + C.

Resposta

\boxed{ \int (\ln x)^{3}\,dx =x\bigl[(\ln x)^{3}-3(\ln x)^{2}+6\ln x-6\bigr]+C }.

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