Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
x=y^{2}, x=y^{2}-3 e x=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano delimitada pelas curvas
x = y^{2}-3,\quad x = y^{2},\quad x = 1.
O conteúdo principal é §“cálculo de área por integração usando fatias horizontais”. Vamos expressar a região em função de y e integrar a largura em x.

Passo 2

Para um dado y, a região satisfaz
y^{2}-3 \;\le\; x \;\le\;\min\bigl(y^{2},\,1\bigr).
A largura longitudinal é
L(y)=\min\bigl(y^{2},1\bigr)\;-\;(y^{2}-3).
Precisamos achar o intervalo de y em que L(y)>0.

Passo 3

Quebramos em dois casos:
  1. Se \lvert y\rvert\le1, então \min(y^{2},1)=y^{2} e
L(y)=y^{2}-(y^{2}-3)=3.
  1. Se 1\le\lvert y\rvert\le2, então \min(y^{2},1)=1 e
L(y)=1-(y^{2}-3)=4-y^{2},
que é positivo até \lvert y\rvert=2. Para \lvert y\rvert>2 a largura seria negativa, logo a região está contida em -2\le y\le2.

Passo 4

A área é a integral da largura em y:
A \;=\;\int_{y=-2}^{2}L(y)\,\mathrm{d}y \;=\;2\int_{0}^{1}3\,\mathrm{d}y\;+\;2\int_{1}^{2}(4-y^{2})\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Calculando cada integral:
2\int_{0}^{1}3\,\mathrm{d}y =2\bigl[3y\bigr]_{0}^{1} =2\cdot3=6,
2\int_{1}^{2}(4-y^{2})\,\mathrm{d}y =2\bigl[4y-\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{1}^{2} =2\bigl((8-\tfrac{8}{3})-(4-\tfrac{1}{3})\bigr) =2\bigl(\tfrac{16}{3}-\tfrac{11}{3}\bigr) =2\cdot\tfrac{5}{3}=\tfrac{10}{3}.
Somando,
A=6+\tfrac{10}{3}=\tfrac{28}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{28}{3}.

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