Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=\ln x, y=-x+1 e x=e^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas y=\ln x, y=-x+1 e a reta vertical x=e^{2}. Aqui o conteúdo é cálculo de área entre duas curvas ao longo do eixo x. Para resolver, precisamos:
  1. Determinar onde as duas curvas se intersectam.
  2. Ver quais são as curvas “superior” e “inferior” no intervalo de integração.
  3. Montar e calcular a integral de \bigl(\text{superior} - \text{inferior}\bigr)\dx.

Passo 2

Encontrar a interseção de y=\ln x e y=-x+1 resolvendo
\ln x = -x + 1.
Note que x=1 satisfaz \ln1=0 e -1+1=0. Como a função \displaystyle f(x)=\ln x + x -1 é crescente para x\ge1 e muda de sinal em x=1, essa é a única raiz. Logo as curvas se cruzam em \bigl(1,0\bigr).

Passo 3

Nosso intervalo em x vai de x=1 até x=e^{2}.
– A curva superior é y=\ln x, pois para x>1 vale \ln x > -x+1.
– A curva inferior é y=-x+1.
A reta x=e^{2} fecha a região à direita, criando um “triângulo curvo” cujas arestas são essas três curvas.

Passo 4

A área A é
A = \int_{x=1}^{x=e^{2}}\bigl[\ln x -(-x+1)\bigr]\,dx =\int_{1}^{e^{2}}\bigl(\ln x + x -1\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
\int\ln x\,dx = x\ln x -x, \quad \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}, \quad \int(-1)\,dx = -x.
Assim
\int\bigl(\ln x + x -1\bigr)\,dx = x\ln x -x + \tfrac{x^{2}}{2} - x = x\ln x + \tfrac{x^{2}}{2} - 2x.
Avaliaremos de 1 a e^{2}:
\Bigl[x\ln x + \tfrac{x^{2}}{2} -2x\Bigr]_{1}^{e^{2}} =\Bigl(2e^{2} + \tfrac{e^{4}}{2} -2e^{2}\Bigr) -\Bigl(0 + \tfrac{1}{2} -2\Bigr) =\tfrac{e^{4}}{2} + \tfrac{3}{2} =\frac{e^{4}+3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{4}+3}{2}

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