Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
,
e a reta vertical
. Aqui o conteúdo é cálculo de área entre duas curvas ao longo do eixo
. Para resolver, precisamos:
- Determinar onde as duas curvas se intersectam.
- Ver quais são as curvas “superior” e “inferior” no intervalo de integração.
- Montar e calcular a integral de .
Passo 2
Encontrar a interseção de
e
resolvendo
Note que
satisfaz
e
. Como a função
é crescente para
e muda de sinal em
, essa é a única raiz. Logo as curvas se cruzam em
.
Passo 3
Nosso intervalo em
vai de
até
.
– A curva superior é , pois para
vale
.
– A curva inferior é .
A reta fecha a região à direita, criando um “triângulo curvo” cujas arestas são essas três curvas.
– A curva superior é
– A curva inferior é
A reta
Passo 4
A área
é
Passo 5
Calculamos a antiderivada:
Assim
Avaliaremos de
a
: