Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=|x-1| e y=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
y = |x - 1|
e
y = 2.
O conteúdo aqui é integração definida para área entre duas curvas. Vamos precisar:
  1. Determinar onde as curvas se intersectam.
  2. Montar a integral da diferença y_{\text{topo}} - y_{\text{fundo}}.
  3. Resolver a integral, lembrando que |x-1| é função peça‐por‐peça.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos
|x - 1| = 2.
Isso dá
x - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 3,
x - 1 = -2 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
Logo a região está entre x=-1 e x=3.

Passo 3

A área A é
A = \int_{x=-1}^{3} \bigl(2 - |x-1|\bigr)\,dx.
Como |x-1| muda de expressão no ponto x=1, quebramos em dois intervalos:
\begin{cases} |x-1| = 1 - x, & x\in[-1,1],\\\ |x-1| = x - 1, & x\in[1,3]. \end{cases}

Passo 4

Calculamos separadamente:
Para x\in[-1,1]:
\int_{-1}^{1}\bigl(2 - (1-x)\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1}(1 + x)\,dx = \bigl[x + \tfrac{x^2}{2}\bigr]_{-1}^{1} = \bigl(1 + \tfrac12\bigr) - \bigl(-1 + \tfrac12\bigr) = \tfrac32 - \bigl(-\tfrac12\bigr) = 2.
Para x\in[1,3]:
\int_{1}^{3}\bigl(2 - (x-1)\bigr)\,dx = \int_{1}^{3}(3 - x)\,dx = \bigl[3x - \tfrac{x^2}{2}\bigr]_{1}^{3} = \bigl(9 - \tfrac{9}{2}\bigr) - \bigl(3 - \tfrac12\bigr) = \tfrac{9}{2} - \tfrac{5}{2} = 2.

Passo 5

Somando as duas partes:
A = 2 + 2 = 4.

Resposta

A área da região é 4.

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