Nos itens a seguir, esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule a sua área.
Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas parábolas y=x^{2}-c^{2} e y=c^{2}-x^{2} seja 8 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas parábolas
y = x^{2} - c^{2}
e
y = c^{2} - x^{2},
e quer os valores de c tais que essa área seja \tfrac{8}{3}.
O conteúdo aqui é integração de funções para calcular área entre curvas.

Passo 2

Para encontrar onde as duas parábolas se cruzam, igualamos
x^{2} - c^{2} = c^{2} - x^{2}.
Reorganizando,
2x^{2} = 2c^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = c^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm c.
Logo a região está entre x=-c e x=+c.

Passo 3

Em cada x entre -c e c, a “altura” da região é
\bigl(c^{2}-x^{2}\bigr)\;-\;\bigl(x^{2}-c^{2}\bigr) =2\bigl(c^{2}-x^{2}\bigr).
Portanto a área A é
A = \int_{-c}^{c} 2\bigl(c^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral,
\int_{-c}^{c}\bigl(c^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = \int_{-c}^{c}c^{2}\,dx \;-\;\int_{-c}^{c}x^{2}\,dx = 2c\cdot c^{2} \;-\; 2\cdot\frac{c^{3}}{3} = 2c^{3}-\frac{2c^{3}}{3} =\frac{4c^{3}}{3}.
Multiplicando por 2,
A = 2\cdot\frac{4c^{3}}{3} = \frac{8c^{3}}{3}.

Passo 5

Queremos A = \tfrac{8}{3}, então
\frac{8c^{3}}{3} = \frac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad c^{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 1.

Resposta

O valor de c que faz a área igual a \tfrac{8}{3} é
c = 1.

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