Considere a equação diferencial y^{\prime}-y-2 x com y(0)-2. Utilize o método de Euler com passo h-0,5 para estimar o valor de y(2).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - y = 2x
com condição inicial y(0)=2, e pede para estimar y(2) pelo método de Euler explícito com passo h=0,5. O conteúdo é método numérico para ODEs de primeira ordem e vamos precisar da fórmula
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=y+2x.

Passo 2

Definimos o passo e os pontos da malha:
h = 0,5,\quad x_0 = 0,\;y_0 = 2,
e para n\ge0
x_{n+1} = x_n + h,\qquad y_{n+1} = y_n + h\bigl(y_n + 2x_n\bigr).

Passo 3

No primeiro passo, n=0:
x_1 = 0 + 0,5 = 0,5,
y_1 = 2 + 0,5\bigl(2 + 2\cdot 0\bigr) = 2 + 0,5\cdot 2 = 3.

Passo 4

No segundo passo, n=1:
x_2 = 0,5 + 0,5 = 1,0,
y_2 = 3 + 0,5\bigl(3 + 2\cdot 0,5\bigr) = 3 + 0,5\cdot 4 = 5.

Passo 5

No terceiro passo, n=2:
x_3 = 1,0 + 0,5 = 1,5,
y_3 = 5 + 0,5\bigl(5 + 2\cdot 1,0\bigr) = 5 + 0,5\cdot 7 = 8,5.

Passo 6

No quarto passo, n=3:
x_4 = 1,5 + 0,5 = 2,0,
y_4 = 8,5 + 0,5\bigl(8,5 + 2\cdot 1,5\bigr) = 8,5 + 0,5\cdot 11,5 = 14,25.

Resposta

A estimativa pelo método de Euler de y(2) é aproximadamente 14,25.

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