Questão 6 Considere o problema
6A. (0.4pt) Obtenha a transformada de Fourier
de
, onde
é a Delta de Dirac.
6B.(0.6pt) Obtenha a transformada de Fourier
de
usando (e indicando) as propriedades da tabela de transformadas de Fourier no verso da primeira folha.
6C. (0.6pt) Obtenha e resolva a equação diferencial ordinária satisfeita pela transformada de Fourier
da solução
, juntamente com sua condição inicial em
, para qualquer
.
6D. (0.4pt) Obtenha a solução
do problema do enunciado para
conforme definida em
.
6B.(0.6pt) Obtenha a transformada de Fourier
6C. (0.6pt) Obtenha e resolva a equação diferencial ordinária satisfeita pela transformada de Fourier
6D. (0.4pt) Obtenha a solução
Passo 1
O enunciado pede para resolver a PDE de difusão com termo de reação
com condição inicial
. Vamos usar a transformada de Fourier em
para converter a PDE numa ODE em
. Para isso precisamos da transformada de
(item 6A) e também da transformada de uma gaussiana
(item 6B) para depois resolver a ODE para
(item 6C) e, finalmente, inverter a transformada usando
(item 6D).
Passo 2
(6A) Calcular
para
.
Pela propriedade da delta de Dirac,
Pela propriedade da delta de Dirac,
Passo 3
(6B) Calcular
para
Usamos a tabela: se
então
Aqui
, logo
e
Passo 4
(6C) Seja
. Tomando transformada de Fourier na PDE
obtemos
A condição inicial é
. Esta ODE em
tem solução
Passo 5
(6D) Para encontrar
fazemos a inversa de Fourier:
Reconhecemos que
para qualquer
. Aqui
, então
Resposta
6A.
6B.
6C.
6D.
6B.
6C.
6D.