Questão 6 Considere o problema
\left\{\begin{array}{l} u_{t}-u_{x x}=-u, \text { para todos } x \in \mathbb{R}, t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
6A. (0.4pt) Obtenha a transformada de Fourier F(\cdot) de f(x)=3 \delta(x-2), x \in \mathbb{R}, onde \delta(\cdot) é a Delta de Dirac.
6B.(0.6pt) Obtenha a transformada de Fourier G(\cdot) de g(x)=e^{-\frac{x^{2}}{4 t}}, x \in \mathbb{R}, t>0 usando (e indicando) as propriedades da tabela de transformadas de Fourier no verso da primeira folha.
6C. (0.6pt) Obtenha e resolva a equação diferencial ordinária satisfeita pela transformada de Fourier U(\cdot, t) da solução u(x, t), juntamente com sua condição inicial em t=0, para qualquer f.
6D. (0.4pt) Obtenha a solução u(x, t) do problema do enunciado para f(x) conforme definida em \mathbf{6} \mathbf{A}.
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Bom Trabalho.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a PDE de difusão com termo de reação
u_{t}-u_{x x}=-u,\quad x\in\mathbb{R},\;t>0,
com condição inicial u(x,0)=f(x). Vamos usar a transformada de Fourier em x para converter a PDE numa ODE em t. Para isso precisamos da transformada de f(x) (item 6A) e também da transformada de uma gaussiana g(x)=e^{-x^2/(4t)} (item 6B) para depois resolver a ODE para U(k,t) (item 6C) e, finalmente, inverter a transformada usando f(x)=3\delta(x-2) (item 6D).

Passo 2

(6A) Calcular F(k)=\mathcal{F}\{f\}(k) para f(x)=3\,\delta(x-2).
Pela propriedade da delta de Dirac,
F(k) =\int_{-\infty}^{\infty}3\,\delta(x-2)\,e^{-ikx}\,dx =3\,e^{-ik\cdot2}.

Passo 3

(6B) Calcular G(k)=\mathcal{F}\{g\}(k) para
g(x)=e^{-\frac{x^2}{4t}},\quad t>0.
Usamos a tabela: se g(x)=e^{-a x^2} então
\mathcal{F}\{e^{-a x^2}\}(k) =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;e^{-\frac{k^2}{4a}}.
Aqui a=\tfrac1{4t}, logo \tfrac1a=4t e
G(k) =\sqrt{\frac{\pi}{1/(4t)}}\;e^{-\frac{k^2}{4\,(1/(4t))}} =\sqrt{4\pi t}\;e^{-k^2\,t} =2\sqrt{\pi\,t}\;e^{-k^2 t}.

Passo 4

(6C) Seja U(k,t)=\mathcal{F}\{u(\cdot,t)\}(k). Tomando transformada de Fourier na PDE u_{t}-u_{xx}=-u obtemos
\partial_{t}U(k,t)+k^2\,U(k,t)=-U(k,t) \;\;\Longrightarrow\;\; \partial_{t}U(k,t)=-(k^2+1)\,U(k,t).
A condição inicial é U(k,0)=F(k)=3\,e^{-2ik}. Esta ODE em t tem solução
U(k,t) =F(k)\;e^{-(k^2+1)t} =3\,e^{-2ik}\;e^{-(k^2+1)t}.

Passo 5

(6D) Para encontrar u(x,t) fazemos a inversa de Fourier:
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}U(k,t)\,e^{ikx}\,dk =3\,e^{-t}\,\frac{1}{2\pi}\int e^{-k^2t}\,e^{ik(x-2)}\,dk.
Reconhecemos que
\frac{1}{2\pi}\int e^{-t k^2}\,e^{ik y}\,dk =e^{-\frac{y^2}{4t}}
para qualquer y. Aqui y=x-2, então
u(x,t) =3\,e^{-t}\,e^{-\frac{(x-2)^2}{4t}}.

Resposta

6A. F(k)=3\,e^{-2ik}.
6B. G(k)=2\sqrt{\pi\,t}\;e^{-k^2 t}.
6C. U(k,t)=3\,e^{-2ik}\,e^{-(k^2+1)t}.
6D. u(x,t)=3\,e^{-t}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{(x-2)^2}{4t}\bigr).

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