\left\{\begin{array}{l} u_{t t}-4 u_{x x}=0, \text { para todos } x \in \mathbb{R}, t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), x \in \mathbb{R} \\\ u_{t}(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
5A.(0.8pt) Obtenha a transformada de Fourier F(\cdot) de f(x)=\frac{1}{4+x^{2}}, x \in \mathbb{R}
5B. (0.6pt) Obtenha e resolva equação diferencial ordinária em t satisfeita pela transformada de Fourier U(\cdot, t) da solução u(x, t), juntamente com sua condição inicial em t=0 para qualquer f. 5C. (0.6pt) Obtenha a solução u(x, t) do problema do enunciado para f(x) conforme definida em \mathbf{5 A}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação da onda
u_{tt}-4u_{xx}=0,\quad x\in\mathbb{R},\;t>0
com condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=0,
onde em 5A temos f(x)=1/(4+x^2). Vamos usar transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma EDO em t, resolver essa EDO e finalmente inverter a transformada.