Questão 5 Considere o problema
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}-4 u_{x x}=0, \text { para todos } x \in \mathbb{R}, t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), x \in \mathbb{R} \\\ u_{t}(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
5A.(0.8pt) Obtenha a transformada de Fourier F(\cdot) de f(x)=\frac{1}{4+x^{2}}, x \in \mathbb{R}
5B. (0.6pt) Obtenha e resolva equação diferencial ordinária em t satisfeita pela transformada de Fourier U(\cdot, t) da solução u(x, t), juntamente com sua condição inicial em t=0 para qualquer f. 5C. (0.6pt) Obtenha a solução u(x, t) do problema do enunciado para f(x) conforme definida em \mathbf{5 A}.
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Passo 1

O enunciado pede resolver a equação da onda
u_{tt}-4u_{xx}=0,\quad x\in\mathbb{R},\;t>0
com condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=0,
onde em 5A temos f(x)=1/(4+x^2). Vamos usar transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma EDO em t, resolver essa EDO e finalmente inverter a transformada.

Passo 2

(5A) A transformada de Fourier de
f(x)=\frac1{4+x^2}
é
F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ikx}}{4+x^2}\,dx.
Usando a fórmula
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ikx}}{x^2+a^2}\,dx=\frac{\pi}{a}e^{-a|k|},
com a=2, obtemos
F(k)=\frac{\pi}{2}e^{-2|k|}.

Passo 3

(5B) Definimos
U(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-ikx}\,dx.
Aplicando a transformada na PDE em x resulta
\partial_{tt}U(k,t)+4k^2U(k,t)=0.
As condições iniciais tornam-se
U(k,0)=F(k),\qquad \partial_tU(k,0)=0.

Passo 4

A EDO
\partial_{tt}U+4k^2U=0
tem solução geral em termos de cosseno e seno. Como \partial_tU(k,0)=0, só fica o termo em cosseno:
U(k,t)=F(k)\cos\bigl(2|k|t\bigr).

Passo 5

(5C) Invertendo a transformada em k,
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}U(k,t)e^{ikx}\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\pi}{2}e^{-2|k|}\cos\bigl(2|k|t\bigr)e^{ikx}\,dk.
Explorando a paridade e reescrevendo em integral de 0 a \infty, chega-se a
u(x,t) =\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-2k}\cos(2kt)\cos(kx)\,dk.
Usando
\cos(2kt)\cos(kx)=\tfrac12\bigl[\cos(k(x+2t))+\cos(k(x-2t))\bigr] \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\infty}e^{-2k}\cos(bk)\,dk=\frac{2}{4+b^2},
obtemos
u(x,t) =\tfrac12\Bigl[\frac{1}{4+(x+2t)^2}+\frac{1}{4+(x-2t)^2}\Bigr].

Resposta

5A. \displaystyle F(k)=\frac{\pi}{2}e^{-2|k|}.
5B. A EDO é
\partial_{tt}U+4k^2U=0,\quad U(k,0)=F(k),\;\partial_tU(k,0)=0,
e a solução é
U(k,t)=F(k)\cos\bigl(2|k|t\bigr).
5C.
u(x,t) =\tfrac12\Bigl[\frac{1}{4+(x+2t)^2}+\frac{1}{4+(x-2t)^2}\Bigr].

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