Calcule a área da região delimitada pelas curvas x=y^2 e x=1-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região em que a parábola x=y^2 está à esquerda e a parábola x=1-y^2 está à direita. O conteúdo usado é cálculo de área entre curvas, usando integração em relação a y.

Passo 2

Para encontrar os limites de y, igualamos as duas curvas:
y^2 = 1 - y^2
Isso dá
2y^2 = 1 implies y^2 = tfrac12 implies y = pm tfrac1raiz2

Passo 3

A área é dada pela integral do deslocamento horizontal entre as curvas ao longo de y:
A = integral-1/raiz2^1/raiz2 l[(1 - y^2) - (y^2)r],dy = integral-1/raiz2^1/raiz2 (1 - 2y^2),dy

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral (1 - 2y^2),dy = y - tfrac2y^33 + C

Passo 5

Avaliando de -1/raiz2 a 1/raiz2 resulta:
l[y - tfrac2y^33r]-1/raiz2^1/raiz2 = 2cdottfrac1raiz2 - 2cdottfrac23cdottfrac12raiz2 = raiz2 - tfrac23raiz2 = tfrac3-13/raiz2 = tfrac2raiz23

Resposta

raiz2

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