In each of Problems 1 through 13 either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem junto com duas condições de contorno. A equação é:
E as condições são:
Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação será:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para obter
:
Passo 4
Aplicamos a primeira condição de contorno:
.
Substituindo
em
:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno:
.
Substituindo
em
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições de contorno fornecidas é: