In each of Problems 1 through 13 either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution.
y^prime prime+2 y=0, y^prime(0)=1, y^prime(pi)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem junto com duas condições de contorno. A equação é:
y'' + 2y = 0
E as condições são:
y'(0) = 1
y'(pi) = 0
Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois aplicar as condições para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' + 2y = 0
Para resolver isso, escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2 = 0
Resolvendo para r :
r = pm raiz-2 = pm iraiz2
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação será:
y(x) = C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x)
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, vamos derivar y(x) para obter y'(x) :
y'(x) = -C1 raiz2 sin(raiz2x) + C2 raiz2 cos(raiz2x)

Passo 4

Aplicamos a primeira condição de contorno: y'(0) = 1 .
Substituindo x = 0 em y'(x) :
y'(0) = -C1 raiz2 sin(0) + C2 raiz2 cos(0)
1 = 0 + C2 raiz2
C2 = 1raiz2

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: y'(pi) = 0 .
Substituindo x = pi em y'(x) :
y'(pi) = -C1 raiz2 sin(raiz2pi) + 1raiz2 raiz2 cos(raiz2pi)
0 = -C1 raiz2 sin(raiz2pi) + cos(raiz2pi)
Resolvendo para C1 :
C1 raiz2 sin(raiz2pi) = cos(raiz2pi)
C1 = cos(raiz2pi)raiz2 sin(raiz2pi)

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições de contorno fornecidas é:
y(x) = cos(raiz2pi)raiz2 sin(raiz2pi) cos(raiz2x) + 1raiz2 sin(raiz2x)

Exercícios relacionados