Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O que precisamos fazer é esboçar o gráfico dessa função, identificando o domínio (os valores de
que a função pode aceitar), a imagem (os valores que a função pode produzir) e verificar se a função é par ou ímpar (paridade). Para isso, vamos seguir alguns passos.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, a função é definida por duas partes, então precisamos analisar cada uma separadamente.
Para a primeira parte,
, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo:
Mas essa parte da função só vale para
, então o domínio dessa parte é
.
Para a segunda parte,
, temos:
E essa parte já está definida para
.
Portanto, o domínio total da função é todos os
reais, já que para qualquer
, pelo menos uma das partes da função está definida.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores que
pode assumir.
Para a primeira parte,
:
Isso porque a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo, e o menos na frente inverte o sinal. Portanto, essa parte da função produz valores de
que são menores ou iguais a zero.
Para a segunda parte,
:
Aqui, a raiz quadrada novamente dá valores não negativos. Então, essa parte da função produz valores de
que são maiores ou iguais a zero.
Assim, a imagem da função é todos os números reais, pois a primeira parte cobre todos os valores menores ou iguais a zero e a segunda parte cobre todos os valores maiores ou iguais a zero.
Passo 4
Vamos verificar agora a paridade da função, ou seja, se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se
para todo
no domínio.
Uma funç��o é ímpar se para todo
no domínio.
Uma funç��o é ímpar se
Vamos testar com a nossa função:
Comparando com
, vemos que
não é igual a
nem a
. Portanto, a função não é nem par nem ímpar.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função.
Para
, temos
. Essa é uma função de raiz quadrada refletida no eixo
.
Para
, temos
. Essa é uma função de raiz quadrada padrão deslocada para a direita.
No ponto onde as duas partes se encontram,
:
Portanto, o ponto
está no gráfico.
O gráfico será composto por duas partes:
- Uma curva de raiz quadrada invertida à esquerda de
. - Uma curva de raiz quadrada normal à direita de
.
Resposta
A função tem domínio em todos os números reais, imagem também em todos os reais, não é nem par nem ímpar. O gráfico é composto por uma curva de raiz quadrada invertida para
e uma curva de raiz quadrada normal para
, se encontrando no ponto
.