Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
f(x)=l-raiz3-2 x se x<32 raiz2 x-3 se x >= 32

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = -raiz3 - 2x & se x < 32 raiz2x - 3 & se x >= 32
O que precisamos fazer é esboçar o gráfico dessa função, identificando o domínio (os valores de que a função pode aceitar), a imagem (os valores que a função pode produzir) e verificar se a função é par ou ímpar (paridade). Para isso, vamos seguir alguns passos.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de 3 - 2x >= 0 implies 2x <= 3 implies x <= 32 para os quais a função está definida. Aqui, a função é definida por duas partes, então precisamos analisar cada uma separadamente.
Para a primeira parte, 2x - 3 >= 0 implies 2x >= 3 implies x >= 32 , o que está dentro da raiz precisa ser não negativo:
Mas essa parte da função só vale para , então o domínio dessa parte é .
Para a segunda parte, , temos:
E essa parte já está definida para .
Portanto, o domínio total da função é todos os reais, já que para qualquer , pelo menos uma das partes da função está definida.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores que -raiz3 - 2x <= 0 pode assumir.
Para a primeira parte, raiz2x - 3 >= 0 :
Isso porque a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo, e o menos na frente inverte o sinal. Portanto, essa parte da função produz valores de que são menores ou iguais a zero.
Para a segunda parte, :
Aqui, a raiz quadrada novamente dá valores não negativos. Então, essa parte da função produz valores de que são maiores ou iguais a zero.
Assim, a imagem da função é todos os números reais, pois a primeira parte cobre todos os valores menores ou iguais a zero e a segunda parte cobre todos os valores maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Vamos verificar agora a paridade da função, ou seja, se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se f(-x) = -raiz3 - 2(-x) = -raiz3 + 2x & se -x < 32 raiz2(-x) - 3 = raiz-2x - 3 & se -x >= 32 para todo no domínio.
Uma funç��o é ímpar se para todo no domínio.
Vamos testar com a nossa função:
Comparando com , vemos que não é igual a nem a . Portanto, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função.
Para f(32) = raiz2 cdot 32 - 3 = raiz3 - 3 = 0 , temos . Essa é uma função de raiz quadrada refletida no eixo .
Para , temos . Essa é uma função de raiz quadrada padrão deslocada para a direita.
No ponto onde as duas partes se encontram, :
Portanto, o ponto está no gráfico.
O gráfico será composto por duas partes:
  1. Uma curva de raiz quadrada invertida à esquerda de .
  2. Uma curva de raiz quadrada normal à direita de .

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, imagem também em todos os reais, não é nem par nem ímpar. O gráfico é composto por uma curva de raiz quadrada invertida para e uma curva de raiz quadrada normal para , se encontrando no ponto .

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