Seja f(x)=11+x. Encontre:
Para quais números c existe um número x tal que f(c x)=f(x) ? (Existem muito mais do que você possa pensar à primeira vista.)

Passo 1

O enunciado pede para achar para quais valores de c existe um x tal que f(cx)=f(x), onde f(x)=\frac{1}{1+x}. Isso envolve resolver uma equação de funções racionais, usando a definição de f e cuidado com o domínio (1+ x ≠ 0 e 1+cx ≠ 0).

Passo 2

Igualamos f(cx) e f(x):
11+cx=11+x
Para funções recíprocas, igualamos os denominadores (desde que não sejam zero):
1+cx=1+x

Passo 3

Reescrevendo 1+cx = 1+x obtemos:
(c-1)x = 0
Daí as duas possibilidades são x=0 ou c=1.

Passo 4

Interpretando essas soluções:
  • Se x=0 então f(cx)=f(0)=1 para qualquer c (já que 1+cx=1). Assim, para todo c∈ℝ existe pelo menos essa solução x=0.
  • Se quisermos uma solução com x≠0 então necessariamente c=1 (e aí qualquer x≠−1 funciona).

Resposta

Todos os números reais c (pois basta escolher x=0). Se quisermos x≠0, então c deve ser 1.

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