Calcule a área da região:
delimitada pelas curvas y=\frac{2}{x} e y=-x+3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \displaystyle y=\frac{2}{x} e \displaystyle y=-x+3.
Para isso, vamos encontrar onde elas se cruzam e depois calcular
a integral da diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Determinar os pontos de intersecção resolvendo
\frac{2}{x} = -x + 3.
Multiplicando por x, obtemos
2 = -x^2 + 3x \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 3x + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x-2)=0.
Logo, x=1 e x=2. Os correspondentes valores de y são
em x=1\colon y=2 e em x=2\colon y=1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva fica por cima em [1,2].
Por exemplo, em x=1{,}5:
\frac{2}{1{,}5}\approx1{,}33,\quad -1{,}5+3=1{,}5,
logo a reta \,y=-x+3 está acima da hipérbole \,y=\tfrac2x.

Passo 4

A área é dada por
A = \int_{1}^{2}\Bigl[(-x+3)-\frac{2}{x}\Bigr]\,dx.

Passo 5

Calcular a primitiva:
\int\bigl(-x+3\bigr)\,dx = -\frac{x^2}{2}+3x \quad\text{e}\quad \int\frac{2}{x}\,dx = 2\ln x.
Portanto,
A = \left[-\frac{x^2}{2} + 3x - 2\ln x\right]_{1}^{2}.
Em x=2:
-\frac{4}{2} + 6 - 2\ln2 = -2 + 6 - 2\ln2 = 4 - 2\ln2.
Em x=1:
-\frac{1}{2} + 3 - 2\ln1 = \frac{5}{2}.
Logo,
A = \bigl(4 - 2\ln2\bigr) - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} - 2\ln2.

Resposta

A = \frac{3}{2} - 2\ln2.

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