Calcule a área da região:
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geq 0\right. e \left.x^{3} \leq y \leq x\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá a região
R = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x\ge 0 \text{ e } x^3\le y\le x\}
e pede a área dessa região. O conteúdo é cálculo de área por integração: precisamos determinar o intervalo de x onde as curvas se intersectam e então integrar a diferença entre a função superior y=x e a função inferior y=x^3.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas
x^3 = x \;\Longrightarrow\; x(x^2 - 1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0,\pm1.
Como exigimos x\ge0, o intervalo relevante é x\in[0,1].

Passo 3

Escrever a área como integral
A = \int_{0}^{1}\bigl(x - x^3\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral usando antiderivadas:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}, \qquad \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}.
Logo
\int_{0}^{1}(x - x^3)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliar em x=1 e x=0:
\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} - \Bigl(0 - 0\Bigr) = \frac12 - \frac14 = \frac14.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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