Calcule a área da região:
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq \frac{x}{x^{2}+1}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le2,\;0\le y\le \tfrac{x}{x^2+1}\}
e pede sua área. Como é a área sob a curva y=\tfrac{x}{x^2+1} acima do eixo x, usamos integração dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Escrevemos a área como
A = \iint_{R}dA = \int_{x=0}^{2}\!\!\int_{y=0}^{x/(x^2+1)} dy\,dx = \int_{0}^{2}\Bigl[\int_{0}^{x/(x^2+1)} dy\Bigr]dx = \int_{0}^{2}\frac{x}{x^2+1}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx,
fazemos a substituição
u = x^2+1,\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Assim
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac12\int \frac{du}{u} = \frac12\ln\lvert u\rvert + C = \frac12\ln(x^2+1) + C.

Passo 4

Avaliaremos de 0 a 2:
A = \left[\frac12\ln(x^2+1)\right]_{0}^{2} = \frac12\bigl(\ln(2^2+1)-\ln(0^2+1)\bigr) = \frac12\bigl(\ln5-\ln1\bigr) = \frac12\ln5.

Resposta

\displaystyle \frac12\ln5

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