Calcule a área da região delimitada pelas curvas
y=x^{2} \quad \text { e } \quad y=4 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^{2} e y = 4x - x^{2}. Para isso, vamos usar o conceito de área entre curvas, que envolve: (a) encontrar os pontos de interseção, (b) identificar qual curva está acima no intervalo, (c) montar o integral definido e (d) calcular esse integral.

Passo 2

Encontramos os pontos em que as duas curvas se cruzam resolvendo
x^{2} = 4x - x^{2}.
Isso leva a
2x^{2} - 4x = 0, \quad 2x(x - 2) = 0,
portanto as soluções são x = 0 e x = 2.

Passo 3

Para x em [0,2], comparamos
y_{1} = 4x - x^{2} \quad\text{e}\quad y_{2} = x^{2}.
A diferença
y_{1} - y_{2} = (4x - x^{2}) - x^{2} = 4x - 2x^{2}
é não negativa em [0,2], logo y = 4x - x^{2} está acima de y = x^{2} nesse intervalo.

Passo 4

A área solicitada é dada por
\int_{0}^{2}\bigl[(4x - x^{2}) - x^{2}\bigr]\,dx = \int_{0}^{2}(4x - 2x^{2})\,dx.

Passo 5

Calculamos o integral. Primeiro achemos a antiderivada:
\int(4x - 2x^{2})\,dx = 2x^{2} - \tfrac{2}{3}x^{3} + C.
Agora avaliamos de 0 a 2:
\Bigl(2\cdot2^{2} - \tfrac{2}{3}\cdot2^{3}\Bigr) - \Bigl(2\cdot0^{2} - \tfrac{2}{3}\cdot0^{3}\Bigr) = 8 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{24 - 16}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{8}{3}.

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