Questão 3. Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique cada item marcado por você.
a) (1,0 ponto) ( ) Sejam
, se
e
são ambas divergentes, então
é divergente.
b)
ponto) ( ) A
representa a área sob a curva
de 0 até 2 .
c)
ponto) ( ) Pelo teste de comparação podemos afirmar que
converge.
a) (1,0 ponto) ( ) Sejam
b)
c)
Passo 1
O enunciado traz três afirmações para classificar como verdadeiras ou falsas, envolvendo:
- Divergência de integrais impróprias de funções não negativas.
- Interpretação geométrica da integral definida como área (assinada vs. área total).
- Convergência de integral imprópria pelo teste de comparação.
Passo 2
Analisando o item (a): “Sejam
. Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente.”
Como e
são não negativas, temos para cada
:
Como
Se cada uma das integrais parciais tende a
quando
, a soma também tende a
. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando o item (b): “
representa a área sob a curva
de 0 até 2.”
A integral definida dá a área assinada, não a área total. Note que é positivo em
e negativo em
. De fato,
A integral definida dá a área assinada, não a área total. Note que
valor negativo, enquanto a área geométrica sob a curva seria positiva somando os módulos das áreas. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando o item (c): “Pelo teste de comparação podemos afirmar que
converge.”
Para vale
e
, então
Para
Como
converge, pelo critério de comparação a integral dada também converge. Logo, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira