Questão 3. Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique cada item marcado por você.
a) (1,0 ponto) ( ) Sejam f(x), g(x) \geq 0, se \int_{a}^{\infty} f(x) d x e \int_{a}^{\infty} g(x) d x são ambas divergentes, então \int_{a}^{\infty}[f(x)+g(x)] d x é divergente.
b) \left(0,5\right. ponto) ( ) A \int_{0}^{2}\left(x-x^{3}\right) d x representa a área sob a curva y=x-x^{3} de 0 até 2 .
c) \left(1,0\right. ponto) ( ) Pelo teste de comparação podemos afirmar que \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan (x)}{2+e^{x}} d x converge.

Passo 1

O enunciado traz três afirmações para classificar como verdadeiras ou falsas, envolvendo:
  • Divergência de integrais impróprias de funções não negativas.
  • Interpretação geométrica da integral definida como área (assinada vs. área total).
  • Convergência de integral imprópria pelo teste de comparação.

Passo 2

Analisando o item (a): “Sejam f(x),g(x)\ge0. Se \displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx e \displaystyle\int_{a}^{\infty}g(x)\,dx são ambas divergentes, então \displaystyle\int_{a}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx é divergente.”
Como f e g são não negativas, temos para cada M>a:
\int_{a}^{M}[f(x)+g(x)]\,dx =\int_{a}^{M}f(x)\,dx+\int_{a}^{M}g(x)\,dx.
Se cada uma das integrais parciais tende a +\infty quando M\to\infty, a soma também tende a +\infty. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando o item (b): “ \displaystyle\int_{0}^{2}(x-x^{3})\,dx representa a área sob a curva y=x-x^{3} de 0 até 2.”
A integral definida dá a área assinada, não a área total. Note que x-x^3 é positivo em [0,1) e negativo em (1,2]. De fato,
\int_{0}^{2}(x-x^{3})\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\bigl(2-4\bigr)-0=-2,
valor negativo, enquanto a área geométrica sob a curva seria positiva somando os módulos das áreas. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando o item (c): “Pelo teste de comparação podemos afirmar que \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan(x)}{2+e^{x}}\,dx converge.”
Para x\ge0 vale 0\le\arctan(x)\le\pi/2 e 2+e^{x}\ge e^{x}, então
0\le\frac{\arctan(x)}{2+e^{x}}\le\frac{\pi/2}{e^{x}} =\frac{\pi}{2}\,e^{-x}.
Como \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx converge, pelo critério de comparação a integral dada também converge. Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira

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