Questão 3. Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique cada item marcado por você.
a) (1,0 ponto) ( ) Se \int_{a}^{\infty} f(x) d x e \int_{a}^{\infty} g(x) d x são ambas divergentes, então \int_{a}^{\infty}[f(x)+g(x)] d x é divergente.
b) \left(0,5\right. ponto) () \int_{-2}^{1} \frac{1}{x^{4}} d x=-\frac{3}{8}.
c) (1,0 ponto) ( ) Pelo teste de comparação podemos afirmar que \int_{1}^{\infty} \frac{2+e^{-x}}{x} d x diverge.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre integrais impróprias e pede para identificar cada uma como verdadeira ou falsa, justificando. Vamos usar teoria de convergência e divergência de integrais impróprias, o teste de comparação e contraexemplos.

Passo 2

Analisando o item a): “Se \displaystyle \int_{a}^{\infty}f(x)\,dx e \displaystyle \int_{a}^{\infty}g(x)\,dx são ambas divergentes, então \displaystyle \int_{a}^{\infty}[f(x)+g(x)]\,dx é divergente.”
Contraexemplo: escolha f(x)=1 e g(x)=-1 para x\ge a. \displaystyle \int_{a}^{\infty}1\,dx diverge e \displaystyle \int_{a}^{\infty}(-1)\,dx diverge, mas \displaystyle f(x)+g(x)=0 implica \displaystyle \int_{a}^{\infty}0\,dx=0, convergente.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando o item b): “ \displaystyle \int_{-2}^{1}\frac{1}{x^{4}}\,dx=-\tfrac{3}{8}.
A função 1/x^{4} tem descontinuidade em x=0, logo a integral é imprópria e deve ser escrita como
\int_{-2}^{1}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\lim_{t\to0^-}\int_{-2}^{t}\frac{1}{x^{4}}\,dx +\lim_{s\to0^+}\int_{s}^{1}\frac{1}{x^{4}}\,dx.
Como \displaystyle \int_{s}^{1}x^{-4}dx=\left[-\frac{1}{3x^{3}}\right]_{s}^{1}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3s^{3}}\to+\infty quando s\to0^+, a integral diverge.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando o item c): “Pelo teste de comparação podemos afirmar que \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{2+e^{-x}}{x}\,dx diverge.”
Para x\ge1 vale 2+e^{-x}\ge2, logo
\frac{2+e^{-x}}{x}\;\ge\;\frac{2}{x}.
Sabemos que \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{2}{x}\,dx=2\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge (é múltiplo da série harmônica contínua).
Pelo teste de comparação, a integral dada também diverge.
Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Falsa.
b) Falsa.
c) Verdadeira.

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