Questão 3. Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Justifique cada item marcado por você.
a) (1,0 ponto) ( ) Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente.
b)
ponto) ()
.
c) (1,0 ponto) ( ) Pelo teste de comparação podemos afirmar que
diverge.
a) (1,0 ponto) ( ) Se
b)
c) (1,0 ponto) ( ) Pelo teste de comparação podemos afirmar que
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre integrais impróprias e pede para identificar cada uma como verdadeira ou falsa, justificando. Vamos usar teoria de convergência e divergência de integrais impróprias, o teste de comparação e contraexemplos.
Passo 2
Analisando o item a): “Se
e
são ambas divergentes, então
é divergente.”
Contraexemplo: escolha e
para
diverge e
diverge, mas
implica
, convergente.
Logo, a afirmação é falsa.
Contraexemplo: escolha
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando o item b): “
”
A função tem descontinuidade em
, logo a integral é imprópria e deve ser escrita como
A função
Como
quando
, a integral diverge.
Portanto, a afirmação é falsa.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando o item c): “Pelo teste de comparação podemos afirmar que
diverge.”
Para vale
, logo
Para
Sabemos que
diverge (é múltiplo da série harmônica contínua).
Pelo teste de comparação, a integral dada também diverge.
Logo, a afirmação é verdadeira.
Pelo teste de comparação, a integral dada também diverge.
Logo, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Falsa.
b) Falsa.
c) Verdadeira.
b) Falsa.
c) Verdadeira.