Calcule a integral indefinida.
\int \cos ^{3} x \operatorname{sen}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{3}x \,\sin^{2}x \,dx.
O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas usando identidades (para reduzir potências) e substituição.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x
para reescrever a integral:
\int \cos^{3}x \,\sin^{2}x \,dx = \int \cos x\cdot\cos^{2}x\cdot\sin^{2}x \,dx = \int \cos x\,(1 - \sin^{2}x)\,\sin^{2}x \,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x \,dx.
Isso transforma a integral em
\int \cos x\,(1 - \sin^{2}x)\,\sin^{2}x \,dx = \int (1 - u^{2})\,u^{2} \,du.

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(1 - u^{2})\,u^{2} = u^{2} - u^{4},
\int (u^{2} - u^{4})\,du = \int u^{2}\,du \;-\; \int u^{4}\,du = \frac{u^{3}}{3} \;-\; \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\sin x, obtemos
\frac{\sin^{3}x}{3} - \frac{\sin^{5}x}{5} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{3}x}{3} - \frac{\sin^{5}x}{5} + C

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