Calcule a área da região:
delimitada pelas curvas y=x^{2}+x e y=5 x-3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^{2} + x e y = 5x - 3. Este é um problema de área entre curvas, que envolve: (1) encontrar os pontos de interseção; (2) determinar qual curva está acima; (3) integrar a diferença das funções no intervalo determinado.

Passo 2

Para achar as interseções, resolvemos
x^{2} + x = 5x - 3
que leva a
x^{2} - 4x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)(x - 3) = 0
Logo, as curvas se cruzam em x = 1 e x = 3.

Passo 3

Precisamos saber qual função é maior em 1 \le x \le 3. Por exemplo, em x=2:
y_{\text{parábola}}=2^{2}+2=6, \quad y_{\text{reta}}=5\cdot2-3=7á
A reta y=5x-3 fica acima de y=x^{2}+x nesse intervalo. Portanto, a área é
A = \int_{1}^{3}\bigl[(5x-3)-(x^{2}+x)\bigr]\,dx.

Passo 4

Simplificando o integrando:
(5x-3)-(x^{2}+x) = -x^{2} + 4x - 3.
Uma antiderivada é
F(x) = \int(-x^{2} + 4x - 3)\,dx = -\tfrac{x^{3}}{3} + 2x^{2} - 3x.

Passo 5

Avaliaremos F de 1 a 3:
F(3) = -\tfrac{27}{3} + 2\cdot9 - 3\cdot3 = -9 +18 -9 = 0, \quad F(1) = -\tfrac{1}{3} + 2 - 3 = -\tfrac{4}{3}.
Logo,
A = F(3) - F(1) = 0 - \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{4}{3}.

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