Calcule \int_{0}^{2} x^{2} e^{2 x} d x
Dica 1: use ntegração por partes, mais de uma vez se necessário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2} x^{2}e^{2x}\,dx
usando integração por partes, possivelmente mais de uma vez. O conteúdo aqui é aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
primeiro para \int x^{2}e^{2x}dx e depois para o termo remanescente \int x e^{2x}dx.

Passo 2

Escolhemos para a primeira parte
u = x^{2}, \quad dv = e^{2x}dx
logo
du = 2x\,dx, \quad v = \int e^{2x}dx = \tfrac12 e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2}e^{2x}dx = x^{2}\cdot\tfrac12e^{2x} - \int \tfrac12e^{2x}\cdot 2x\,dx = \tfrac12 x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}dx.

Passo 3

Agora calculamos \int x e^{2x}dx por partes de novo, com
u = x, \quad dv = e^{2x}dx
portanto
du = dx, \quad v = \tfrac12e^{2x}.
Logo
\int x e^{2x}dx = x\cdot\tfrac12e^{2x} - \int \tfrac12e^{2x}\,dx = \tfrac12 x e^{2x} - \tfrac12\cdot\tfrac12e^{2x} = \tfrac12 x e^{2x} - \tfrac14 e^{2x}.

Passo 4

Substituindo de volta em \int x^{2}e^{2x}dx, temos
\int x^{2}e^{2x}dx = \tfrac12x^{2}e^{2x} - \Bigl(\tfrac12 x e^{2x} - \tfrac14 e^{2x}\Bigr) = e^{2x}\Bigl(\tfrac12x^{2} - \tfrac12x + \tfrac14\Bigr) + C.

Passo 5

Para a integral definida, avaliamos de 0 a 2:
F(x)=e^{2x}\Bigl(\tfrac12x^{2}-\tfrac12x+\tfrac14\Bigr).
Então
\int_{0}^{2}x^{2}e^{2x}dx =F(2)-F(0) =e^{4}\Bigl(\tfrac12\cdot4-\tfrac12\cdot2+\tfrac14\Bigr) - e^{0}\Bigl(0-0+\tfrac14\Bigr).
Calculando:
\tfrac12\cdot4-\tfrac12\cdot2+\tfrac14 =2-1+\tfrac14 =1+\tfrac14 =\tfrac54,
F(2)=\tfrac54e^{4}, \quad F(0)=\tfrac14.
Logo
\int_{0}^{2}x^{2}e^{2x}dx =\tfrac54e^{4}-\tfrac14 =\tfrac{1}{4}\bigl(5e^{4}-1\bigr).

Resposta

\int_{0}^{2}x^{2}e^{2x}dx =\tfrac{1}{4}\bigl(5e^{4}-1\bigr).

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