Calcule a área da região delimitada pelo eixo x e pela função f(x)=x^{2}-4 x, no intervalo [1,3].

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo eixo x e pela função
f(x)=x^{2}-4x
no intervalo [1,3]. Como estamos lidando com a área entre curva e eixo, vamos usar integrais definidas e considerar o valor absoluto de f(x) sempre que ela estiver abaixo do eixo.

Passo 2

Primeiro identificamos o sinal de f(x) em [1,3]. Note que
f(x)=x(x-4)
e, para 1\le x\le3, temos x>0 e x-4<0, logo f(x)<0. Isso significa que a curva fica abaixo do eixo x nesse intervalo, e a área será
\text{Área} = -\int_{1}^{3}f(x)\,dx.Á

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de f(x):
F(x)=\int\bigl(x^2-4x\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3}-2x^2 + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida:
\int_{1}^{3}(x^2-4x)\,dx = F(3)-F(1).
Calculando,
F(3)=\frac{3^3}{3}-2\cdot3^2 = 9-18 = -9, \qquad F(1)=\frac{1^3}{3}-2\cdot1^2 = \tfrac{1}{3}-2 = -\tfrac{5}{3},
então
\int_{1}^{3}(x^2-4x)\,dx = -9 -\Bigl(-\tfrac{5}{3}\Bigr) = -\tfrac{22}{3}.

Passo 5

Como a curva está abaixo do eixo x, a área é
\text{Área} = -\int_{1}^{3}f(x)\,dx = -\Bigl(-\tfrac{22}{3}\Bigr) = \tfrac{22}{3}.Á

Resposta

A área da região pedida é \tfrac{22}{3}.

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