Calcule a área da região delimitada entre os gráficos de y=x^2 e y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada entre os gráficos de y = x^2 e y = 2x . A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de x que satisfazem a equação x^2 = 2x . Vamos resolver essa equação:
x^2 = 2x
Subtraindo 2x de ambos os lados:
x^2 - 2x = 0
Agora, fatorando x :
x(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 2 . Esses são os pontos onde as duas curvas se cruzam.

Passo 3

Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a área que queremos calcular está entre x = 0 e x = 2 . Agora, precisamos identificar qual das duas funções está por cima nesse intervalo.
Vamos testar um valor entre 0 e 2, por exemplo, x = 1 :
Para y = x^2 :
y = 1^2 = 1
Para y = 2x :
y = 2(1) = 2
Como 2 > 1 , sabemos que y = 2x está por cima de y = x^2 nesse intervalo.

Passo 4

Agora, para calcular a área entre as duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Área = integrala^b (função de cima - função de baixo) , dx Áçãçã
No nosso caso, função de cima = 2x çã e função de baixo = x^2 çã, e os limites de integração são de a = 0 a b = 2 .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Área = integral0^2 (2x - x^2) , dx Á
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, encontramos a primitiva de 2x - x^2 :
integral (2x - x^2) , dx = x^2 - x^33 + C
Agora, aplicamos os limites de integração:
Área = [ x^2 - x^33 ]0^2 = ( (2)^2 - (2)^33 ) - ( 0^2 - 0^33 ) Á
Simplificando:
Área = ( 4 - 83 ) - (0 - 0) = 4 - 83 = 123 - 83 = 43 Á

Resposta

A área da região delimitada entre os gráficos de y = x^2 e y = 2x é 43 unidades quadradas.

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