Calcule a área da região delimitada entre os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada entre os gráficos de
e
. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de
que satisfazem a equação
. Vamos resolver essa equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, fatorando
:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos onde as duas curvas se cruzam.
Passo 3
Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a área que queremos calcular está entre
e
. Agora, precisamos identificar qual das duas funções está por cima nesse intervalo.
Vamos testar um valor entre 0 e 2, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, sabemos que
está por cima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, para calcular a área entre as duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
No nosso caso,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, encontramos a primitiva de
:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
A área da região delimitada entre os gráficos de
e
é
unidades quadradas.