Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral(raizx+1x^2-x^-1-5) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de uma função que combina várias potências de x . O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de integrais indefinidas, especificamente aplicando a regra do poder. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar funções do tipo x^n e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a propriedade que nos ajuda aqui: a integral da soma é a soma das integrais. Isso significa que podemos separar a integral original em partes menores e integrar cada uma individualmente. Então, a nossa integral fica assim:
integral(raizx + 1x^2 - x^-1 - 5) dx = integral raizx , dx + integral 1x^2 , dx - integral x^-1 , dx - integral 5 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra do poder, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Vamos aplicar essa regra a cada termo:
  1. Integral de raizx :
raizx = x^1/2
Aplicando a regra do poder:
integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23x^3/2
  1. Integral de 1x^2 :
1x^2 = x^-2
Aplicando a regra do poder:
integral x^-2 , dx = x^-2+1-2+1 = x^-1-1 = -x^-1 = -1x
  1. Integral de -x^-1 :
integral -x^-1 , dx = -integral x^-1 , dx
Aqui, como n = -1 , usamos a integral conhecida:
integral x^-1 , dx = ln|x| + C
Então:
-integral x^-1 , dx = -ln|x|
  1. Integral de -5 :
integral -5 , dx = -5x

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as integrais que calculamos:
23x^3/2 - 1x - ln|x| - 5x + C

Resposta

A integral indefinida é:
23x^3/2 - 1x - ln|x| - 5x + C

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