Esboce e calcule a área da região delimitada por , com pela definição;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa esboçar (fazer um desenho) e calcular a área da região que está limitada pela função no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral definida da matemática, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função entre e . A função cúbica é uma curva que passa pela origem, mas como nosso intervalo começa em 1, vamos focar nessa parte do gráfico. No intervalo dado, a curva sobe de forma contínua.
Passo 3
Agora, para calcular a área sob essa curva entre e , vamos usar a integral definida. A integral definida de uma função de a é representada por:
No nosso caso, , e . Então, a integral que precisamos calcular é:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos encontrar a antiderivada de . A antiderivada de é:
onde é a constante de integração. Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração e na antiderivada que encontramos:
Calculando os valores:
814 - 14 = 804 = 20
Resposta
A área da região A delimitada por f(x) = x^3 entre x = 1 e x = 3 é 20 unidades quadradas.