Esboce e calcule a área da região A delimitada por f(x)=x^3, com 1 <= x <= 3 pela definição;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa esboçar (fazer um desenho) e calcular a área da região A que está limitada pela função f(x) = x^3 no intervalo de x = 1 até x = 3 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral definida da matemática, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função f(x) = x^3 entre x = 1 e x = 3 . A função cúbica x^3 é uma curva que passa pela origem, mas como nosso intervalo começa em 1, vamos focar nessa parte do gráfico. No intervalo dado, a curva sobe de forma contínua.

Passo 3

Agora, para calcular a área sob essa curva entre x = 1 e x = 3 , vamos usar a integral definida. A integral definida de uma função f(x) de a a b é representada por:
integrala^b f(x) , dx
No nosso caso, f(x) = x^3 , a = 1 e b = 3 . Então, a integral que precisamos calcular é:
integral1^3 x^3 , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos encontrar a antiderivada de x^3 . A antiderivada de x^n é:
x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Aplicando isso ao nosso caso:
integral x^3 , dx = x^44 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração 1 e 3 na antiderivada que encontramos:
x^44 |1^3 = 3^44 - 1^44
Calculando os valores:
814 - 14 = 804 = 20

Resposta

A área da região A delimitada por f(x) = x^3 entre x = 1 e x = 3 é 20 unidades quadradas.

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