Obtenha a equação da reta r, tangente à \mathcal{E}: x^{2}+2 y^{2}=6 em P=(2,1).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à elipse
\mathcal{E}: x^{2} + 2y^{2} = 6
no ponto P=(2,1). Para isso, vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Derivando implicitamente ambas as parcelas em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(2y^{2}) = 0
ou seja
2x + 2\cdot 2y\,\frac{dy}{dx} = 0
Logo,
2x + 4y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}.

Passo 3

Avaliaremos a derivada no ponto P=(2,1):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,1)} = -\frac{2}{2\cdot1} = -1.
Portanto, a inclinação da reta tangente é m=-1.

Passo 4

Usamos a forma-ponto inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}) \quad\Longrightarrow\quad y - 1 = -1\,(x - 2).
Reorganizando,
y - 1 = -x + 2 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 3.
Em forma geral:
x + y - 3 = 0.

Resposta

A equação da reta tangente é
x + y - 3 = 0.

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