Calcule a área da região delimitada :
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área da região que está delimitada pelas curvas $ y = x^{3} - x $ e $ y = 0 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas, que ajudam a encontrar áreas entre curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, onde $ y = x^{3} - x $ é igual a $ y = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Para resolver $ x^{3} - x = 0 $, podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ x^{2} - 1 = 0 $ que simplifica para $ x = \pm1 $
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos visualizar quais áreas estamos interessados. A curva $ y = x^{3} - x $ cruza o eixo x nesses três pontos, formando duas regiões fechadas entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 5
Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a integral definida da função de cima menos a função de baixo no intervalo de interesse. Nesse caso, a função de cima é $ y = x^{3} - x $ e a função de baixo é $ y = 0 $.
Então, a área $ A $ será:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral nos limites de -1 a 1:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Passo 9
Isso parece estranho, né? A área não pode ser zero. O que aconteceu aqui é que a função $ y = x^{3} - x $ está abaixo do eixo x em algumas partes e acima em outras, então a integral resulta em áreas positivas e negativas que se cancelam.
Passo 10
Para encontrar a área total, precisamos considerar o valor absoluto das áreas. Observando o gráfico, vemos que a função é simétrica em relação à origem, então podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2.
Vamos calcular de 0 a 1:
Passo 11
Calculando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ y = x^{3} - x $ e $ y = 0 $ é $ \frac{1}{2} $ unidades de área.