Calcule a área da região delimitada :
por y=x^3-x e y=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área da região que está delimitada pelas curvas $ y = x^{3} - x $ e $ y = 0 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas, que ajudam a encontrar áreas entre curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, onde $ y = x^{3} - x $ é igual a $ y = 0 $. Então, vamos resolver a equação:
y = x^3 - x

Passo 3

Para resolver $ x^{3} - x = 0 $, podemos fatorar:
x^3 - x = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x^{2} - 1 = 0 $ que simplifica para $ x = \pm1 $
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos visualizar quais áreas estamos interessados. A curva $ y = x^{3} - x $ cruza o eixo x nesses três pontos, formando duas regiões fechadas entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 5

Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a integral definida da função de cima menos a função de baixo no intervalo de interesse. Nesse caso, a função de cima é $ y = x^{3} - x $ e a função de baixo é $ y = 0 $.
Então, a área $ A $ será:
y = x^3 - x

Passo 6

Vamos calcular a integral:
A = integral-1^1 (x^3 - x) , dx = [ x^44 - x^22 ]-1^1

Passo 7

Agora, avaliamos a integral nos limites de -1 a 1:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = -1 $:
1^44 - 1^22 = 14 - 12 = -14

Passo 8

Subtraindo os valores:
A = ( -14 ) - ( -14 ) = 0

Passo 9

Isso parece estranho, né? A área não pode ser zero. O que aconteceu aqui é que a função $ y = x^{3} - x $ está abaixo do eixo x em algumas partes e acima em outras, então a integral resulta em áreas positivas e negativas que se cancelam.

Passo 10

Para encontrar a área total, precisamos considerar o valor absoluto das áreas. Observando o gráfico, vemos que a função é simétrica em relação à origem, então podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2.
Vamos calcular de 0 a 1:
A = 2 integral0^1 (x - x^3) , dx = 2 [ x^22 - x^44 ]0^1

Passo 11

Calculando:
2 ( ( 1^22 - 1^44 ) - ( 0 - 0 ) ) = 2 ( 12 - 14 ) = 2 ( 14 ) = 12

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas $ y = x^{3} - x $ e $ y = 0 $ é $ \frac{1}{2} $ unidades de área.

Exercícios relacionados